Operatore differenziale: differenze tra le versioni

Versione delle 13:54, 19 ott 2008

Versione delle 00:35, 16 nov 2008

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:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

==Operatore aggiunto==

==Aggiunto di un operatore==

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

l' '''[[operatore aggiunto|aggiunto]]''' di tale operatore è definito come l'operatore <math>T^*</math> tale che

: <math>\langle u,Tv \rangle = \langle T^*u, v \rangle</math>

dove la notazione <math>\langle,\rangle</math> indica il [[prodotto scalare]] o [[prodotto interno]]. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

Nello spazio funzionale delle [[funzione a quadrato sommabile|funzioni a [[quadrato sommabile]], il prodotto scalare è definito da:

: <math>\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \, g(x) \,dx. </math>

Se a questo aggiungiamo la condizione che ''f'' e ''g'' tendono a zero per <math>x \to a</math> e <math>x \to b</math>, è allora possibile definire l'aggiunto come:

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Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di '''operatore aggiunto formale'''.

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale [[operatore autoaggiunto|autoaggiunto]]. L'operatore differenziale del secondo ordine ''L'' può essere scritto nella forma:

Un operatore '''auto-aggiunto''' è un operatore che è aggiunto di se stesso.

L'operatore di [[Teoria di Sturm-Liouville|Sturm-Liouville]] è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine ''L'' può essere scritto nella forma:

: <math>Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u\;\!</math>

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\end{matrix}</math>

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella [[Teoria di Sturm-Liouville]] dove vengono esaminate le [[autofunzione|autofunzioni]] di questo operatore (analoghe agli [[autovettori]])

==Proprietà degli operatori differenziali==