Curvatura scalare: differenze tra le versioni

Versione delle 01:22, 26 nov 2008

Versione delle 01:17, 9 dic 2008

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{{S|geometria|matematica}}

NellaIn [[geometria di Riemanndifferenziale]], la '''curvatura scalare''' ('''scalare di Ricci''') è il più semplice invariante di [[curvatura]] di una [[varietà riemanniana]]. Ad ogni punto della varietà essa associa un [[numero reale]] determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal [[tensore di curvatura di Ricci]], che è a sua volta definito a partire dal [[tensore di Riemann]].

== Definizione ==

Sia <math>M</math> una [[varietà riemanniana]] o una più generale [[varietà differenziabile]] dotata di una [[connessione (matematica)|connessione]] <math>\nabla</math>. La '''curvatura scalare''' è una [[funzione differenziabile]] che associa ad ogni punto di <math>M</math> un [[numero reale]], definito [[contrazione di un tensore|contraendo]] i due indici del [[tensore di curvatura di Ricci]] nel modo seguente:

<div style="float:center; width:300px; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

<math>R = g^{ij}R_{ij}.\,\!</math>

</div>

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo <math>(0,2)</math>, ovvero una [[forma bilineare]]. La curvatura sezionale è la [[traccia (matrice)|traccia]] di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del [[tensore metrico]] <math>g</math>, presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo <math>(0,0)</math>, ovvero una funzione.

{{Portale|matematica}}