Curvatura scalare: differenze tra le versioni

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== Definizione ==

Sia <math>M</math> una [[varietà riemanniana]] o una più generale [[varietà differenziabilepseudo-riemanniana]] dotata di una [[connessione (matematica)|connessione]] <math>\nabla</math>. La '''curvatura scalare''' è una [[funzione differenziabile]] che associa ad ogni punto di <math>M</math> un [[numero reale]], definito [[contrazione di un tensore|contraendo]] i due indici del [[tensore di curvatura di Ricci]] nel modo seguente:

<div style="float:center; width:300px; padding:15px; background: white; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

<math>R = g^{ij}R_{ij}.\,\!</math>

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La curvatura scalare è un tensore di tipo <math>(0,0)</math>, ovvero una funzione.

== Proprietà ==

=== Simboli di Christoffel ===

La curvatura scalare dipende dai [[simboli di Christoffel]] nel modo seguente.

:<math>R = g^{ab} (\Gamma^c_{ab,c} - \Gamma^c_{ac,b} + \Gamma^c_{ab}\Gamma^d_{cd} - \Gamma^d_{ac} \Gamma^c_{bd})</math>

=== Volume ===

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto <math>p</math> della varietà riemanniana <math>M</math> ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello [[spazio euclideo]]. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio <math>\epsilon</math> è dato da

: <math> \frac{\operatorname{Vol} (B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}

(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)}=

1- \frac{R}{6(n+2)}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)</math>

La [[derivata seconda]] di questo rapporto, valutata in <math>\epsilon = 0 </math>, è esattamente

:<math>-\frac R{3n+2}.</math>

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle <math>(n-1)</math>-sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

: <math> \frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}

(\partial B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)}=

1- \frac{R}{6n}\varepsilon^2 + O(\varepsilon^4)</math>

=== Oggetto riemanniano ===

A differenza del [[tensore di Riemann]] e del [[tensore di Ricci]], la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico <math>g</math> per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle [[connessione (matematica)|connessioni]].

== Voci correlate ==

* [[Tensore di curvatura di Ricci]]

* [[Tensore di Riemann]]

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