Nell'universo delle equazioni differenziali ordinarie il seguente teorema fornisce condizioni sufficienti affinchè una funzione ''f'' "esista" sia "unica" e continua.
La condizione di continuità poi, ha come conseguenza anche di essere soluzione del problema di Cauchy.
Se <math>\Omega \subseteq \mathfrak{R}^{2^{}}</math> aperto, sia <math>f : \Omega \rightarrow
\mathfrak{R}</math> continua e supponiamo che ''f'' soddisfi la condizione di Lipschitz, allora <math>\exists L > 0</math> tale che <math>\forall [(x, y_1), (x, y_2)] \in \Omega</math>:
<math>| f (x, y_1) - f (x, y_2) | \leq L | y_1 - y_2 |</math>
e sia <math>(x_0, y_0) \in \Omega</math> allora:
:1) <math>\exists \delta > 0</math> tale che <math>y \in C^1 ([x_0 - y_0, x_0 + y_0])</math> e ''y'' è soluzione del problema di Cauchy <math>y = f (x, y)</math> con condizione iniziale <math>y (x_0) = y</math>
:2) <math>\exists \delta_1 > 0</math> e <math>y_1 \in C^1 ([x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1]) = C^1 (I_1,\mathfrak{R})</math> è soluzione del problema di Cauchy allora <math>\forall x \epsilon I\bigcap I_1 : y_1 (x) = y (x)</math>
==Dimostrazione del teorema==
Supponiamo <math>\Omega \equiv \mathfrak{R}^2</math> e riconduciamo il problema di Cauchy ad un'equazione integrale.
:<math>y = y (x)</math> è soluzione del problema di Cauchy se e solo se <math>y = y (x)</math> è soluzione di Volterra: <math>y (x) = y_0 + \int^x_{x 0} f (t, y (t)) </math> dt
Dimostriamo quindi la soluzione di Volterra:
Supponiamo che <math>g \in C^1</math> tale per cui <math>y (x_0) = y_0</math> e <math>y (x) = f (x, y (x))</math>.
Allora <math>y (x) - y_0 = y (x) - y_{} (x_0) = \int^x_{x 0} \dot{y} (t)</math> dt <math>= \int^x_{x 0} f (t, y (t))</math> dt
