Quadrivettore: differenze tra le versioni

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NelloIn [[Spaziorelatività di Minkowskiristretta]], un '''quadrivettore''' (o ''tetravettore'') è una quadrupla di valori <math>\mathbf [({A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3}])</math> che nelle trasformazioni di coordinate tra due [[sistema di riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]]. Il componente di indice 0 si dice di natura temporale, quelli rimanenti di natura spaziale.<br>

La metrica dello spazio di Minkowski definisce il modulo quadratico di un quadrivettore come il numero <math>\mathbf {{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}</math>; il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], ovverosia è uno scalare.<br>

In [[relatività generale]], il termine '''quadrivettore''' identifica un [[vettore]] dello [[spazio tangente]] allo [[spazio-tempo]] o anche, per estensione, un vettore dello [[spazio cotangente]]. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè <math>\mathbf [ct,x,y,z]</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>\mathbf {A}^{i}</math> (possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice latino assume i valori 0,1,2,3 e quello greco solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa).<br>

La [[metrica]] dello [[spazio di Minkowski]] definisce la [[norma]] quadratica di un quadrivettore come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:<br>

<math>\mathbf {A}_{i}=\sum_{j=0}^{3}{g}_{ij}{A}^{j}={g}_{ij}{A}^{j}</math><br>

<math>\left|\mathbf <A,B>= \sum_{i,jright|^2 =0}^-{3}{A}^{i0}{g}_^{ij2}+{B{A}^{j1}={A}^{i2}+{g}_{ij}{BA}^{j2}={A}^{i2}+{B}_{i}=\sum_{i=0A}^{3}{A}^{i}{B}_{i2}</math>.

(nello scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma j assume i valori da 0 a 3). Un quadrivettore controvariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz bensì come la derivata di uno scalare: se <math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>\mathbf {A}_{i}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math>\mathbf \frac{ds}{d{x}^{i}}</math>; la particolare forma del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero <math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>: nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta cambiare di segno le componenti spaziali.<br>

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite la [[metrica di Minkowski]] può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:<br>

La metrica dello spazio di Minkowski definisce il modulo quadratico di un quadrivettore come il numero <math>\mathbf {{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}</math>; ilIl modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], ovverosiacioè è uno scalare.<br>

<math>\mathbf <A,B>=\sum_{i,j=0}^{3}{A}^{i}{g}_{ij}{B}^{j}={A}^{i}{g}_{ij}{B}^{j}={A}^{i}{B}_{i}=\sum_{i=0}^{3}{A}^{i}{B}_{i}</math>.

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>\mathbf [(''ct'',''x'',''y'',''z]</math>'').

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>\mathbf {A}^{i}</math> (possono<ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice latinogreco assume i valori 0,1,2,3 e quello grecolatino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa).<br/ref>.

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma [[componenti covarianti e controvarianti|controvariante]]; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:<br>

<math>\mathbf {A}_{i\mu}=\sum_{j\nu=0}^{3}{g}_{ij\mu \nu}{A}^{j\nu}={g}_{ij\mu \nu}{A}^{j\nu}</math><br>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''innalzamento o abbassamento degli indici'' ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'ugualianza in termini matriciali, possiamo considerare ''A''_&mu; e ''A''^&mu; le componenti di due vettori colonna e ''g''_&mu;&nu; le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrix} \right) =

\left( \begin{matrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)</math>

(nello scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma j assume i valori da 0 a 3). Un quadrivettore controvariantecovariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz bensì come la derivata di uno scalare: se <math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>\mathbf {A}_{i\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math>\mathbf \frac{ds}{d{x}^{i}}</math>;. laIn relatività ristretta La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero <math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>: nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta cambiare di segno le componenti spaziali.<br>

:<math>A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu}=\left\{ \begin{matrix} -1 & \mbox{se} \,\,\, \mu=0 \\

1 & \mbox{se} \, \mu=1,2,3 \end{matrix} \right.</math>

oppure, in forma matriciale:

:<math>\left( \begin{matrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrix} \right) =

\left( \begin{matrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 1 \\

\end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)=

\left( \begin{matrix} -A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrix} \right)

</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno la componente temporale.

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite la [[metrica di Minkowski]] può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:<br>

<math> < \mathbf A , \mathbf B > =\sum_{\mu,\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {A}^{\mu} {B}^{\nu}={A}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{B}^{\nu}={A}^{\mu}{B}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{A}^{\mu}{B}_{\mu}</math>.

==Genere del quadrivettore==

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

* di '''genere spazio''' se <math>\mathbf |A|^2><0</math>;

* di '''genere tempo''' se <math>\mathbf |A|^2<>0</math>;

* '''nulli''' o '''isotropi''' o di '''genere luce''', se <math>\mathbf|A|^2=0</math>;

Il genere è invariante rispetto alle [[trasformazioni di Lorentz]].

==Note==

<references/>

== Voci correlate ==