Schema (matematica): differenze tra le versioni
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L'evoluzione del concetto di schema non fu la fine della strada; ma le successive definizione di [[spazio algebrico]] e algebric stack da parte di [[Michael Artin]] per l'utilizzo nei moduli problems sono di ristretta applicazione tecnica.
[[en:scheme (mathematics)]]
== Definizioni ==
Uno '''schema''' ''X'' è uno [[spazio localmente anellato]] con un ricoprimento di aperti ''U''<sub>''i''</sub> tali che la restrizione del fascio ''O''<sub>''X''</sub> ad ogni aperto ''U''<sub>''i''</sub> è isomorfo a [[spettro di un anello|Spec]] ''A''<sub>''i''</sub> in quanto spazi localmente anellati, ove ''A''<sub>''i''</sub> è un anello commutativo.
(NB: Vi è stato un cambiamento di assiomi; nei primi anni questo si chiamava ''preschema'' e lo schema richiedeva un assioma di separazione)
Schemi isomorphi a Spec(''A'') con ''A'' anello commutativo, si chiamano '''schemi affini'''. Si può pensare allo schema come coperto da "mappe coordinate" di schemi affini.
== La categoria degli schemi ==
Gli schemi formano una [[categoria]] se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].
I morfismi da uno schema in uno schema affine sono completamente spiegabili grazie alla seguente [[funtore aggiunti|coppia di funtori aggiunti]]: Per ogni schema ''X'' ed ogni anello commutativo ''A'' abbiamo la seguente equivalenza naturale:
:<math>\operatorname{Mor}_{\rm Schemi}(X, \operatorname{Spec}(A)) \simeq \operatorname{Mor}_{\rm Anelli}(A, O_X(X))</math>
Poiché [[intero|'''Z''']] è un [[oggetto iniziale]] nella categoria degli anelli, la categoria degli schemi ha Spec('''Z''') come [[oggetto finale]].
La categoria degli schemi ha [[prodotto (teoria delle categorie)|prodotti]] finiti, ma bisogna essere attenti: lo spazio topologico sottostante il prodotto di schemi (''X'',''O''<sub>''X''</sub>) e (''Y'',''O''<sub>''Y''</sub>) non è in generale il [[prodotto topologico]] degli spazi sottostanti. Prendiamo Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) per esempio. '''Z'''[''X'',''Y''] è il [[coprodotto]] nella categoria degli anelli commutativi di '''Z'''[''X''] e '''Z'''[''Y''], dunque Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) è il prodotto di Spec('''Z'''[''X'']) e Spec('''Z'''[''Y'']) nella categoria degli [[schema affine|schemi affini]] (e l'inclusione nella categoria degli schemi rispetta il prodotto). Ma tutti gli insiemi chiusi propri di Spec('''Z'''[''X'']) sono finiti, mentre Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) ha molti insiemi chiusi V generati da un polinomio irriducibile P(''X'', ''Y'') di grado superiore a uno: questi non derivano in alcun modo dai due fattori (l'insieme degli ideali primi non è nemmeno il prodotto cartesiano).
== Tipi di schemi ==
* schemi noetheriani: uno schema si dice '''noetheriano''' se può essere ricoperto da un numero finito di aperti affini Spec(''A''<sub>''i''</sub>) tali che gli ''A''<sub>''i''</sub> sono degli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]].
* schemi separati:
:''da completare''
== ''O''<sub>''X''</sub> moduli ==
Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O<sub>X</sub>''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O<sub>X</sub>'' (Cf. [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O<sub>X</sub>''-modulo). La categoria degli ''O<sub>X</sub>''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].
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