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== Polinomi e progressioni aritmetiche ==
È stato dimostrato da [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] alla fine del [[Settecento]]<ref>Boyer, ''Storia della matematica'', p. 565.</ref> che nessun [[polinomio]] a coefficienti interi può assumere valori soltanto primi: infatti, se esistesse un polinomio ''P''(''n'') di questo tipo, si avrebbe ''P''(1) = p per qualche primo ''p'' e quindi ''P''(1) ≡ 0 mod ''p''. Ma ''P''(1) ≡ ''P''(1+''kp'') mod ''p'' per ogni intero ''k'', e quindi ''P''(1+''kp'') dovrebbe assumere infinite volte il valore ''p'' (perché i multipli di ''p'' non possono essere primi). Tuttavia questo è assurdo, perché nessun polinomio può assumere uno stesso valore un numero di volte maggiore del proprio grado.<ref>{{cita libro
Alcuni polinomi sembrano assumere valori primi "più spesso" degli altri: ad esempio [[Eulero]] notò che il polinomio di secondo grado <math>n^2+n+41</math> produce numeri primi per ogni valore di ''n'' compreso tra 0 e 39; tuttavia, sebbene circa un terzo dei valori che questa funzione assume nei primi 10 milioni siano primi,<ref>Devlin, ''Dove va la matematica'', p. 73.</ref> non è stato ancora dimostrato che ne esistano infiniti. Più in generale, non c'è alcun polinomio in una sola variabile e di grado maggiore di uno di cui sia stato dimostrato che assume infiniti valori primi. Diversa è la situazione per i polinomi in due variabili: Dirichlet dimostrò che questo avviene per ogni [[forma quadratica]] <math>ax^2+bxy+cy^2</math> (a patto che ''a'', ''b'' e ''c'' siano coprimi e che la forma non sia il quadrato di un polinomio di primo grado),<ref>[[Harold Davenport]], ''Aritmetica superiore'', p. 33.</ref> mentre nel [[1998]] [[John Friedlander]] e [[Henryk Iwaniec]] lo provarono per il polinomio di quarto grado <math>x^2+y^4</math>.<ref>{{en}}{{cita pubblicazione|autore = [[John Friedlander]] e [[Henryk Iwaniec]]|titolo = The polynomial ''X''<sup>2</sup> + ''Y''<sup>4</sup> captures its primes|rivista = Annals of Mathematics|volume = 148|data = 1998|pagine = 945–1040|url = http://www.emis.ams.org/journals/Annals/148_3/fried1.pdf|doi = 10.2307/121034}}</ref>
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