Numero primo: differenze tra le versioni

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=== Intervalli tra i numeri primi ===

[[ File:Anzahl_Primzahl-Zwillingspaare.png |230px|thumb|La distibuzione dei primi gemelli per ''n''≤1000]]

Legato alla distribuzione dei numeri primi è lo studio degli intervalli tra due primi consecutivi. Questo, a parte la coppia formata da 2 e 3, deve essere necessariamente maggiore o uguale a 2, perché tra due numeri consecutivi almeno uno è pari e quindi non primo. Se due numeri primi hanno come differenza 2, sono detti [[numeri primi gemelli|''gemelli'']]: ad eccezione della "tripletta" formata da 3, 5 e 7, i numeri primi gemelli si presentano a coppie, ed è semplice verificare che, tranne nel caso 3 e 5, il numero posto tra di loro è sempre un multiplo di 6. Le più piccole coppie di primi gemelli sono (3,5), (5,7), (11, 13), (17, 19) e (29, 31). È stato [[congettura]]to che esistano infinite coppie di numeri primi gemelli, sebbene nessuno sia ancora riuscito a dimostrarlo; un'estensione di questa idea è chiedersi se, dato un numero pari ''k'', la differenza tra due primi consecutivi sia pari a ''k'' infinite volte. Quest'ultimo problema prende il nome di [[congettura di Polignac]].

È stato [[congettura]]to che esistano infinite coppie di numeri primi gemelli, sebbene nessuno sia ancora riuscito a dimostrarlo; un'estensione di questa idea è chiedersi se, dato un numero pari ''k'', la differenza tra due primi consecutivi sia pari a ''k'' infinite volte. Quest'ultimo problema prende il nome di [[congettura di Polignac]] ed è anch'essa indimostrata.

È facile invece mostrare che questa differenza può essere grande a piacere: dato un intero ''N'', ed indicando con ''N!'' il suo [[fattoriale]] (cioè il prodotto di tutti i numeri compresi tra 1 ed ''N''), i numeri

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:<math>6!+6=726=6\times 121</math>

mentre il valore successivo, 6!+7=727, è primo.<ref>Si noti tuttavia che in generale non è vero che il numero successivo è primo, ad esempio se ''n'' è dispari, allora N!+(''N''+1) è divisibile per 2.</ref>

Dal teorema dei numeri primi discende facilmente che l'intervallo [[Valore atteso|atteso]] tra due numeri primi consecutivi ha lunghezza logln(''n''). Tuttavia ci si aspetta che questi intervalli siano talvolta molto più grandi e talvolta molto più piccoli. Ad esempio, la congettura dei primi gemelli, dice esattamente che questo intervallo è il minimo possibile infinite volte. Seppure questa congettura sia ancora aperta, recentemente si sono fatti grossi passi avanti in questa direzione. Nel 2007 infatti Goldston, Pintz e Yildirim hanno provato che

:<math>\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\sqrt{\log p_n}(\log\log p_n)^2}=0,</math><ref>{{cita pubblicazione | autore = D.A. Goldston, J. Pintz, Y. Yilidrim| titolo = "Primes in tuples. II." | rivista = Acta. Math. | anno = to appear |url = http://www.renyi.hu/~pintz/0710.2728.pdf}}</ref>

restando comunque molto lontani dalla dimostrazione della congettura. Anche sul problema opposto, ossia quello sugli intervalli inusualmente lunghi, i risultati dimostrati sono nettamente inferiori a quelli comunemente ritenuti veri. Ci si aspetta infatti che

:<math>0<\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\log^2n}\ll1.</math><ref name = Pintz>{{citaweb | autore = J. Pintz| titolo = "Landau's problems on primes." | url = http://www.renyi.hu/~pintz/pjapr.pdf}}</ref>

In questo caso, i migliori risultati provati sono

:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{(p_{n+1}-p_{n})(\log\log\log p_n)^2}{\log p_n(\log\log p_n)(\log\log\log\log p_n)}\geq 2e^\gamma</math><ref name = Pintz />

e

:<math>p_{n+1}-p_n=O\left(p_n^{\frac{21}{40}}\right),</math><ref name = Pintz />

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È noto inoltre che, se ''n'' e ''k'' sono coprimi, il rapporto tra ''M'' e i primi minori di ''M'' che sono congrui a ''k'' [[aritmetica modulare|modulo]] ''n'' tende a <math>1/\phi(n)</math> per ''M'' che tende all'infinito, ovvero i primi tendono a dividersi equamente tra le <math>\phi(n)</math> progressioni di ragione ''n'' che contengono più di un primo.<ref>Apostol, ''Introduction to Analytic Number Theory'', p. 149.</ref>

Sebbene non esistano progressioni aritmetiche i cui valori siano soltanto numeri primi, nel [[2004]] è stato dimostrato che esistono progressioni che contengono un numero arbitrariamente grande di termini consecutivi che sono primi ([[teorema di Green-Tao]]).<ref>{{cita pubblicazione | autore = [[Ben Green]] e [[Terence Tao]] | anno = 2008 | titolo = The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions | rivista = [[Annals of Mathematics]] | volume = 167 | pagine = 481-547 | url = http://annals.math.princeton.edu/issues/2008/March2008/GreenTao.pdf | accesso = 23 febbraio 2009}}</ref> Tale risultato è stato migliorato nel [[2006]] per includere anche le progressioni polinomiali; più precisamente è stato dimostrato che, dati e dei polinomi ''P''₁, ...,''P''_''m'' a coefficienti interi, esistono infiniti interi ''a'' e ''m'' tali che ''a''+''P''₁(''n''), ..., ''a''+''P''_''m''(''n'') sono contemporanemanente primi per 1 ≤ ''n'' ≤ ''m''.<ref>{{cita web|autore=[[Terence Tao]] e [[Tamar Ziegler]]|url=http://arXiv.org/abs/math.NT/0610050|titolo=The primes contain arbitrarily long polynomial progressions|accesso=23 febbraio 2009|lingua=en}}</ref>

Tali teoremi non sono tuttavia ''costruttivi'', ovvero non permettono di determinare esplicitamente delle progressioni arbitrariamente lunghe. La più lunga sequenza di primi (attualmente conosciuta) che sono termini consecutivi di una progressione aritmetica è composta da 25 numeri.<ref>{{cita web|autore=[[Jens Kruse Andersen]]|url=http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm|titolo=Primes in Arithmetic Progression Records|accesso=15 agosto 2008|lingua=en}}</ref> È stato anche congetturato che esistano sequenze arbitrariamente lunghe di questo tipo tali che tra due termini della progressione non ci siano altri numeri primi. La più lunga sequenza di primi di questo tipo finora trovata comprende 10 termini.<ref>{{cita pubblicazione | autore = H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann | anno = 2002 | titolo = "Ten consecutive primes in arithmetic progression" | rivista = [[Mathematics of Computation]] | volume = 71 | pagine = 1323-1328 | url = http://www.ams.org/mcom/2002-71-239/S0025-5718-01-01374-6/home.html | accesso = 11 gennaio 2009 }}</ref>

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== Problemi additivi ==

[[ File:Goldbach-1000000.png |270px|thumb|Il numero di modi con cui un numero ''n'' si può scrivere come somma di due primi per ''n''≤1 000 000]]

Per la loro definizione, i numeri primi sono intrinsecamente legati all'[[Operazione binaria|operazione]] di moltiplicazione. Tuttavia, sono di grande interesse anche alcuni problemi riguardanti loro proprietà [[Addizione|additive]].

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scegliendo opportunamente i segni "più" e "meno".

Problemi additivi sono considerati anche i già citati [[teorema di Green-Tao]] sulle progressioni aritmetiche e, la [[congettura dei primi gemelli]] e la [[congettura di Levy]], che afferma che ogni intero dispari è la somma di un primo e di un [[semiprimo]] pari.

== Principali problemi aperti ==