Coefficiente multinomiale: differenze tra le versioni

Versione delle 11:33, 19 giu 2009

Versione delle 03:56, 28 ott 2009

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Il '''coefficiente multinomiale''' è una un'estensione del [[coefficiente binomiale]].

Per numeri interi non negativi <math>n,</math> <math>k_1</math>, <math>...</math>, <math>k_r</math> con <math>k_1+...+k_r =n</math>, il coefficiente binomiale è definito come

è definito come

:<math>{n \choose k_1, \dots , k_r} := \frac{n!}{k_1!\cdot \dots \cdot k_r!}

</math>

cheed è sempre un [[numero naturale]].

==Teorema multinomiale==

Come generalizzazione del [[teorema binomiale]] vale il cosiddetto '''teorema multinomiale''':

: <math>(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n\choose k_1,\ldots,k_r}\cdot x_1^{k_1}\cdots x_r^{k_r}.</math>

ovvero

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:<math>(x_1+\ldots+x_r)^n=\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}{n!\cdot \prod_{i=1}^r x_i^{k_i}\cdot\frac{1}{k_i!}}</math>

dove <math>\sum_{k_1+\ldots+k_r=n}</math> indica la [[sommatoria]] di tutte le possibili ennuple la cui somma degli elementi corrisponda proprio a ''<math>n''</math>.

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== Applicazioni ==

Il coefficiente multinomiale dà il numero delle [[Permutazione|permutazioni]] di ''n'' oggetti, di cui ''k''<submath>1k_1</submath> uguali tra loro, ''k''<submath>2k_2</submath> uguali tra loro e così via, potendo un qualsiasi ''k''<submath>ik_i</submath> essere uguale ada 1, ede avendosi così ''k''<submath>1k_1</submath> + ''k''<submath>2k_2</submath> + ... + ''k''<submath>rk_r</submath> = ''n''.

Il coefficiente multinomiale viene usato, inoltre, nella definizione della [[variabile casuale multinomiale]]:

:<math>P(X_1=k_1,\, X_2=k_2,\,\dots\, , X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dots , k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdot ... \cdot p_r^{k_r},

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*[[Teorema binomiale]]

*[[Variabile casuale multinomiale]]

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