Funzione di Cantor: differenze tra le versioni
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* 1/4 = 0.02020202...<sub>3</sub> diventa 0.01010101...<sub>2</sub> = 1/3. Quindi ''f''(1/4)=(1/3).
* 1/5 = 0.01210121...<sub>3</sub>, al passo 2 diventa 0.02000000..., quindi 0.01000000...<sub>2</sub> = 1/5. Quindi ''f''(1/5)=1/4.
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione]] di funzioni, costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;
*Sia <math>f_{n}(x)</math> la poligonale continua e non decrescente di <math>2^{n+1}-1</math> lati con vertici nei punti <math>(a_{k}^{(n)},\frac{k-1}{2^{n}}), (b_{k}^{(n)},\frac{k}{2^{n}})</math> per k = 1,..,2<sup>n</sup>.
In generale si può notare che per ogni n∈N risulta f<sub>n</sub>(0)=0, f<sub>n</sub>(1)=1 e che la f<sub>n</sub> ha 2<sup>n</sup> lati obliqui di coefficiente angolare (3/2)<sup>n</sup> che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>, k=1,...,2<sup>n</sup>, e inoltre ha 2<sup>n</sup>-1 lati orizzontali che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> e per cui è f(J<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) = {k/2n}, k = 1,...,2<sup>n</sup>-1. In figura sono sovrapposte f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub> e f<sub>2</sub>.
[[Image:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]
Inoltre si può "costruire" la n+1-esima poligonale f<sub>n+1</sub> come una modificazione della f<sub>n</sub>, nel senso che è f<sub>n+1</sub> = f<sub>n</sub> in J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> per ogni k = 1,...,2</sup>n</sup>-1, mentre ogni lato obliquo di f<sub>n</sub> (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub> e I<sub>2k</sub><sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub>.
Risultando <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>, da ciò ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]'' dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor''', che è quindi continua, non decrescente e a valori ''[0,1]''.
== Proprietà ==
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