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Versione delle 17:48, 6 nov 2009

Versione delle 17:53, 6 nov 2009

Riga 23:

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti realereali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo la condizione al contorno che la funzione d'onda contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>

La costante ''A'' si ottienericava imponendo la [[normalizzazione]] degli stati <math>\phi_k</math>.

<ref>

Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi_phi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \psi_phi_{k} (x)

= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }

= 2 \pi \vert A \vert^2 \delta (k^{\prime} - k),</math>

Riga 37:

per cui si può porre

:<math>A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.</math>

Una seconda possibilità consiste nel chiudere lo spazio, imponendo condizioni periodiche al contorno su una lunghezza ''L'' molto grande:

:<math>\phi_k(x+L)) = \phi_k(x).</math>

In tal caso, i vettori d'onda sono quantizzati

Riga 49 ⟶ 50:

:<math>\int_{-L/2}^{L/2} dx \psi_{k_{m}}^{\ast} (x) \psi_{k_n} (x)

= \vert A \vert^2\,\delta_{nm},</math>

per cui è sufficiente porre