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La funzione si può anche definire come [[limite di una successione]] di funzioni definite in ''[a,b]'', costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;
*Sia <math>f_{n}(x)</math> la poligonale continua e non decrescente di <math>2^{n+1}-1</math> lati, con vertici2<sup>n</sup> neilati puntiobliqui di coefficiente angolare (3/2)<mathsup>(a_{k}^{(n)},\frac{k-1}{</sup> e 2^{<sup>n}})</sup>-1 lati orizzontali, ciascun lato con proiezione sull'asse delle ascisse (b_{k}^{(n1/3)},\frac{k}{2^{<sup>n}})</mathsup>, tale che per kogni n∈N risulti f<sub>n</sub>(0)=0, f<sub>n</sub>(1)=1,.. In figura sono sovrapposte f<sub>0</sub>,2 f<supsub>n1</supsub> e f<sub>2</sub>.
In generale si può notare che per ogni n∈N risulta f<sub>n</sub>(0)=0, f<sub>n</sub>(1)=1 e che la f<sub>n</sub> ha 2<sup>n</sup> lati obliqui di coefficiente angolare (3/2)<sup>n</sup> che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>, k=1,...,2<sup>n</sup>, e inoltre ha 2<sup>n</sup>-1 lati orizzontali che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> e per cui è f(J<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) = {k/2n}, k = 1,...,2<sup>n</sup>-1. In figura sono sovrapposte f<sub>0</sub>, f<sub>1</sub> e f<sub>2</sub>.
[[Image:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]
Inoltre si può "costruire" la n+1-esima poligonale f<sub>n+1</sub> come una modificazione della f<sub>n</sub>, nel senso che è f<sub>n+1</sub> = f<sub>n</sub> in J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> per ogni k = 1,...,2<sup>n</sup>-1, mentre ogni lato obliquo di f<sub>n</sub> (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub> e I<sub>2k</sub><sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub>. ▼
▲InoltreNotare che si può "costruire" la n+1-esima poligonale f<sub>n+1</sub> come una modificazione della f<sub>n</sub> : infatti, neldetti senso che è fI<sub> k</sub><sup>(n +1)</sub> , k= f1,...,2< subsup>n</ subsup> ine J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> per ogni , k = 1,...,2<sup>n</sup>-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f<sub>n+1</sub> = f<sub>n</sub> in J<sub>k</sub><sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f<sub>n</sub> (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I<sub>k</sub><sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub> e I<sub>2k</sub><sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J<sub>2k-1</sub><sup>(n+1)</sub>.
Risultando <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>, da ciò ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]'' dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''. ▼
Si può provare che risulta: <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.
▲RisultandoDa <math>sup_{pquest'ultimo \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>, da ciòrisultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]'' dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.
== Proprietà ==
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