Funzione omogenea: differenze tra le versioni

Versione delle 01:01, 25 nov 2009

Versione delle 03:04, 4 dic 2009

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: <math>\ \alpha f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . ., \alpha x_{n})= {\alpha}^{k}f_{x_{i}}(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>

Dividendo entrambi i membri per &alpha;α si ottiene l'asserto

: <math>\ f_{x_{i}}(\alpha x_{1}, . . ., \alpha x_{n})= {\alpha}^{k-1}f_{x_{i}}(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>

== Teorema di [[Eulero]] sulle funzioni omogenee ==

Sia <math>f:A\rightarrow\ R</math> una [[funzione differenziabile]] su un cono [[insieme aperto|aperto]] <math>A\subset\R^n</math>. Allora <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> su <math>A</math> se e solo se vale l'identità detta '''identità di Eulero''':

:<math> \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i} = k f(x) \forall x \in A</math>

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: <math>\ f({x'}_{1}, . . ., {x'}_{n})= {\alpha}^{k}f(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>

Differenziando ora rispetto ad &alpha;α

: <math>\ \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial {x'}_{i}} \frac{\partial {x'}_{i}}{\partial \alpha} = k{\alpha}^{k-1}f(x_{1}, . . ., x_{n}) </math>

Riga 68:

<math>F(t)=\frac {f(tx)} {t^k}</math>

Si vede chiaramente che la funzione <math>f</math> è omogenea di grado <math>k</math> se e solo se la funzione <math>F</math> è costante ed uguale ad <math>f(x)</math> all'interno di tutto il suo dominio di definizione. Da un noto [[teorema]] ciò avviene se e solo la derivata prima di <math>F(x)</math> è [[Funzione costante|identicamente nulla]] in tutto il suo dominio <math>]0, \infty[</math>. Per ipotesi <math>f</math> è differenziabile dunque vale il [[regola della catena|teorema di derivazione delle funzioni composte]] ed applicando la formula si ottiene:

<math>F'(t) =\frac 1 {t^{2k}} [\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t^{k}-k t^{k-1} f(tx)]=\frac 1 {t^{k+1}}[\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t - k f(tx)]</math>

Riga 76:

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(tx) x_i t = k f(tx) \forall x \in A, \forall t>0</math>

sfruttando la proprietà che <math>A</math> è un cono in <math>R^n</math> si ha che <math>x \in A </math> se e solo se <math>tx \in A, \forall t>0</math> dunque a patto di cambiare <math>x</math> con <math>tx</math> possiamo riscrivere la precedente condizione come:

<math>\sum_{i=1}^n f_{x_i}(x) x_i t = k f(x) \forall x \in A</math>

Riga 93:

[[fr:Fonction homogène]]

[[he:פונקציה הומוגנית]]

[[nl:Homogeniteit (analysewiskunde)]]

[[pl:Funkcja jednorodna]]

[[ru:Однородная функция]]