Trasversalità: differenze tra le versioni

Versione delle 14:00, 24 mar 2009

Versione delle 19:48, 23 dic 2009

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== Definizione ==

Due [[sottovarietà differenziabile|sottovarietà differenziabili]] di una [[varietà differenziabile]] <math>''M</math>'' di dimensione <math>''n</math>'' si '''intersecano in modo trasverso''' in un punto <math>''x</math>'' se i due [[spazio tangente|spazi tangenti]] corrispettivi in quel punto [[span lineare|generano]] lo spazio tangente di <math>''x</math>'' in <math>''M</math>''.

Nel caso in cui le sottovarietà abbiano dimensioni complementari (cioè la cui somma è <math>''n</math>''), questo equivale a chiedere che i due sottospazi tangenti siano in [[somma diretta]], ovvero che si intersechino solamente in un punto (questo segue dalla [[formula di Grassmann]]).

== Proprietà ==

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Entrambe queste proprietà dipendono dalla trasversalità: se l'intersezione di due varietà non è trasversa, l'intersezione può non essere una varietà, e se è una varietà può comunque avere dimensione arbitraria.

In particolare, due varietà con dimensioni complementari si intersecano in punti isolati. Se una delle due varietà è [[spazio compatto|compatta]], questi punti sono finiti. Se le due varietà e la varietà ambiente sono tutte [[orientabilità|orientate]], ciascun punto di intersezione ha un segno + o -. La somma di questi segni è una quantità importante in [[topologia algebrica]], perché non cambia se una delle due varietà è spostata tramite una [[Omotopia#Isotopia|isotopia]].

[[Immagine:Transversality-ambient.svg|thumb|left|300px|La trasversalità dipende fortemente dallo spazio ambiente: le due curve disegnate sono trasverse se considerate nel piano, ma non lo sono nello spazio.]]

Due varietà la cui somma delle dimensioni è minore della dimensione <math>''n</math>'' della varietà ambiente sono trasverse se e solo se non si intersecano. Infatti in questo caso gli spazi tangente hanno dimensione troppo piccola e non possono in nessun caso generare uno spazio di dimensione <math>''n</math>''.

Più in generale, secondo la definizione, due varietà che non si intersecano sono comunque trasverse.