Lemma di Schur: differenze tra le versioni

Versione delle 11:55, 2 dic 2008

Versione delle 17:02, 21 gen 2010

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# Essendo <math>T\,</math> G-invariante, il KerT e ImT sono sottospazi G-invariante. Si ha che, poiché <math>p\,</math> è irriducibile, o <math>KerT=0\,</math> o <math>KerT=V\,</math>. Se <math>KerT=V\,</math> allora <math>T=0\,</math> è corretto. Se <math>KerT=0\,</math> allora <math>T\,</math> è [[funzione iniettiva|iniettiva]] e manda i vettori di <math>V\,</math> nell'ImT che risulta quindi diversa dall'[[insieme vuoto]]. Ma <math>q\,</math> è irriducibile, quindi <math>ImT=W\,</math> e dunque <math>T\,</math> è [[funzione suriettiva|suriettiva]]. Perciò <math>T\,</math> è un [[isomorfismo]].

# <math>\mbox{T:}\,</math> <math>V \rightarrow \ V\,</math> [[operatore lineare]]; sia <math>n\,</math> un suo [[autovalore]]: allora <math>Ker(T-nI) \ne \ 0 \,</math>, in quanto contiene almeno un [[autovettore]]. Chiamiamo <math>T-nI=S\,</math>; <math>S\,</math> è anch'esso un operatore G-invariante. Poiché <math>KerS \ne \ 0 \,</math> e <math>p\,</math> è irriducibile si ha che <math>KerS=V\,</math> e quindi <math>S=0\,</math>. Perciò <math>T-nI=0\,</math> e quindi <math>T=nI\,</math>. Ovvero <math>T\,</math> è moltiplicazione per scalare.

== Bibliografia ==

*David S. Dummit, Richard M. Foote. ''Abstract Algebra.'' 2nd ed., pg. 337.

*{{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=A First Course in Noncommutative Rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | ___location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-95325-0 | year=2001 }}