Matrice elementare: differenze tra le versioni
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==Definizione e proprietà==
Siano <math>\alpha\in \mathbb{C}</math> numero complesso ed i vettori non nulli <math>u,v\in\mathbb{C}^n</math> </br>
Si definisce '''matrice elementare''' la matrice </br>
<math>\ E(\alpha,u,v) = I - \alpha uv^*</math>,
dove <math>I</math> è la matrice identica di dimensione <math>n</math>.
Le matrici elementari sono alla base della descrizione delle tecniche di [[fattorizzazione
LU]] e [[fattorizzazione QR|QR]] di una matrice.
Le principali proprietà delle matrici elementari sono:
'''Teorema.''' Se <math>\alpha v^*u\ne 0</math> allora la matrice <math>E</math> è
invertibile e l'inversa della matrice <math>\ I-\alpha u v^*</math> è
<math>\ I-\beta u v^*</math>, dove <math>\ \beta=\frac{\alpha}{\alpha v^*u-1}</math>.
'''Teorema.''' Siano <math>x,y</math> due vettori non nulli, esistono matrici elementari
tali che <math>E(\alpha,u,v)x=y</math>.
==Matrici elementari di Gauss==
L'[[metodo di Gauss|algoritmo di Gauss]] può essere interpretato come l'applicazione di <math>n-1</math>
matrici elementari alla matrice del sistema lineare.
Ad ogni passo occorre annullare tutti gli elementi di un vettore <math>v</math> escluso il primo, <math>v_1</math>, questo può essere fatto con una matrice elementare che mandi <math>v</math> in <math>e_1=[1;0;\dots;0]^T</math>. Tale matrice elementare è quella ottenuta scegliendo <math>\alpha=1, u=m_i, v=e_1</math> dove <math>m_i=\frac{v_i}{v_1}</math>.
==Matrici elementari di Householder==
Si può mandare il vettore <math>v</math> in un vettore del tipo <math>/alpha e_1</math> tramite una trasformazione ortonale che è una matrice elementare. Dal fatto che una trasformazione ortogonale è un'isometria segue che <math>\alpha=\|v\|_2</math>.
Basta scrivere la matrice di riflessione di <math>v</math> rispetto al piano ortogonale a <math>v-\alpha e_1</math> o quello
ortogonale a <math>v+\alpha e_1</math>.
La matrice così ottenuta è <math>P=I-\beta ww^*</math> dove <math>\beta=\frac 2{w^*w}</math> e <math>w=v\pm\frac{v_1}{|v_1|}\|v\|e_1</math> se <math>v_1=0</math>.
Tale matrice è detta matrice elementare di [[Householder]].
[[Categoria:Algebra lineare]]
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