Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

Versione delle 13:33, 28 apr 2006

Versione delle 18:00, 13 mag 2006

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In [[matematica]], e in particolare nelle applicazioni dell'[[algebra lineare]] alla [[fisica]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una notazione convenzionale utile quando si lavora con formule contententi indici di coordinate.

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In questa espressione, si è supposto che il termine alla destra debba essere sommato quando ''i''  varia da 1 a ''n'', perchè l'indice ''i'' non appare ai due lati dell'espressione.

La ''i'' è nota come ''falso indice'' dal momento che il risultato non dipende da esso; in questo modo possiamo anche scrivere, per esempio:

<!--

The ''i'' is known as a ''dummy index'' since the result is not dependent on it; thus we could also write, for example:

: '''v''' = ''v_j'' '''e'''_''j''.

AnUn indexindice thatche isnon notè summedstato oversommato isprende ail nome di ''freeindice indexlibero'' ande shoulddeve beessere foundritrovato in eachogni termtermine of thedell'equazione equationo ordella formula.

In contesti in cui l'indice debba apparire una volta come apice ed una volta come pedice, il vettore di base '''e'''_''i'' conserva il pedice ma le coordinate diventano: ''vⁱ'' con gli apici. Dunque, la regola base è:

In contexts where the index must appear once as a subscript and once as a superscript, the basis vectors '''e'''_''i'' retain subscripts but the coordinates become ''vⁱ'' with superscripts.

Then the basic rule is:

: '''v''' = ''vⁱ'' '''e'''_''i''.

TheIl valuevalore ofdella theconvenzione di Einstein conventionè ische thatesso itsi appliesapplica toad otheraltri vectorspazi spacesvettoriali builtcostruiti froma partire dallo spazio ''V''&nbsp; usingusando theil [[tensorprodotto producttensoriale]] ande la [[dualityspazio (linearvettoriale algebra)duale|dualitydualità]]. ForPer exampleesempio, <math>V\otimes V</math>, theil tensortensore productottenuto ofdal prodotto di ''V''&nbsp; with itself,con hasse astesso, basisha consistinguna ofbase tensorsche ofconsiste the form <math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math>. Any tensor '''T''' in <math>V\otimes V</math>di cantensori benella writtenforma as:

<math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math>. Ogni tensore '''T''' in <math>V\otimes V</math> può essere scritto come:

:<math>\mathbf{T} = T^{ij}\mathbf{e}_{ij}</math>.

''V*'', theil dualduale ofdi ''V'', hasha acome basisbase '''e'''¹, '''e'''², ..., '''e'''^''n'' whichche obeysobbedisce thealla rulelegge:

:<math>\mathbf{e}^i (\mathbf{e}_j) = \delta_{i}^j</math>.

HereDove &delta; isè theil [[Kronecker delta di Kronecker]], socosì <math>\delta_{i}^j</math> isè 1 if ''i'' =''j''&nbsp; ande 0 otherwisenell'altro caso.

-->

== Esempi ==

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:<math>s^{\nu} = a^{\mu\nu}b_{\mu}.</math>

Per un esempio familiare, si consideri il [[prodotto scalare]] di due vettori '''a''' e '''b'''. Il prodotto scalare è definito semplicemente come una sommatoria "lungo" gli indici di '''a''' e '''b''':

<!--

For a familiar example, consider the dot product of two vectors '''a''' and '''b'''. The dot product is defined simply as summation over the indices of '''a''' and '''b''':

:<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a^{\alpha}b_{\alpha} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3,</math>

che è la formula a noi nota come prodotto scalare tra vettori. Si ricordi che talvolta è necessario cambiare le componenti di '''a''' in modo da ridurre il suo indice; comunque, ciò non è necessario nello spazio euclideo, od in un qualunque spazio con una [[Metrica (matematica)|metrica]] eguale alla sua metrica inversa (ad esempio, lo [[Spazio-tempo di Minkowski|spazio-tempo piatto]])

which is our familiar formula for the vector dot product. Remember it is sometimes necessary to change the components of '''a''' in order to lower its index; however, this is not necessary in Euclidean space, or any space with a [[metric]] equal to its inverse metric (e.g., flat spacetime).

-->

== Varie ==