Particella libera: differenze tra le versioni

Versione delle 23:50, 30 mag 2010

Versione delle 01:23, 2 giu 2010

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===L'equazione di Schrödinger radiale===

{{Vedi anche|Moto in un campo centrale|Equazione di Schrödinger}}

L'equazione di Schrödinger radiale è:nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia

:<math>\Psi_{k,l,m} = R(r) Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math>

:<math>\left(-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] + V(r) \right) R (r) = E \cdot (r)</math>

dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche, ha la forma:

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>, si vede che <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.

:<math>\left(-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] + V(r) \right) R (r)Psi_{k,l,m} = E \cdot (r)Psi_{k,l,m}</math>

Nel caso di particella libera <math>V(r) = 0</math> per cui:

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>, si. vedeLa chefunzione <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.<br>

:<math>\left[\frac{d^2}{d r^2} + \frac{2}{r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] R_{k,l} (r) + k^2 R_{k,l} (r) = 0</math>

Posto <math>R(r) = \frac{R_{k,l}(r)}{r}</math>, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:

:<math>\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d r^2} + \frac{\hbar^2}{r} - \frac{l(l+1)}{2m r^2} \right] R_{k,l} (r) += k^2E R_{k,l} (r) = 0</math>

dove abbiamo per la particella libera <math>E>0</math> determinata

:<math>k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}</math>

quindi soluzioni nel continuo date da <math>\Psi_{k,l,m} = R_{k,l} (r) \cdot Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math> dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche. A noi interessa solo la soluzione radiale <math>R_{k,l} (r)</math> con valore di ''l'' detreminato. Vediamo anche che le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' definito prima oltre che dal valore di ''l''.

Le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' e dal valore di ''l''.<br>

La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da: