Funzione intera: differenze tra le versioni

Versione delle 05:04, 24 gen 2010

Versione delle 10:00, 10 giu 2010

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In effetti uno sviluppo della forma precedente esiste per ogni <math>c\in \mathbb{C}</math>.

== Esempi ==

Evidentemente la somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere.

AncheI più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ''g'' è sempre diversa da 0 (se ''g'' ha degli zeri il quoziente è una [[funzione meromorfa]].

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]].

Anche le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].

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*la [[funzione G di Barnes]].

== Crescita ==

Si noti che una funzione intera può presentare una [[singolarità (matematica)|singolarità]], anche una [[singolarità essenziale]] nel [[punto all'infinito]] del piano complesso.

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>f^{(n)}(z)\leq\frac{n!M}{R^n}</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f''| nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''n'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^n</math> per una costante ''C'' e per un intero ''n'') è effettivamente un polinomio di grado ''n''.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[singolarità rimovibile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Un risultato importante sulle funzioni intere è il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]:

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

:Una funzione intera che è limitata deve ridursi a una costante.

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r}</math>

dove ''M_f''(''r'') indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione <math>\cos\sqrt{z}</math>.

== Zeri ==

Questo teorema si può usare per ottenere una elegante dimostrazione del [[teorema fondamentale dell'algebra]].

Come per ogni funzione olomorfa, gli zeri di una funzione intera non possono avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, ovvero nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri, questa è facile da costruire attraverso la produttoria

:<math>\prod_{n=1}^m (a_n-z)</math>

Questa costruzione non si può estendere senza modificazioni ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione intera). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione con zeri negli {''a_n''} (tutti diversi da 0) è

Un enunciato considerevolmente più stringente del teorema di Liouville è costituito dal [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]:

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)}</math>

dove ''g'' è una funzione intera e

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\ldots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

in cui gli ''h_n'' sono degli interi tali che

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty</math>

Se è possibile prendere gli ''h_n'' tutti uguali ad un intero ''h'' e ''g'' è un polinomio, il massimo tra ''h'' e il suo grado è detto il ''genere'' di ''f''; altrimenti il genere è infinito. Il [[teorema di Hadamard]] lega il genere e l'ordine: se ''h'' è il genere e &lambda; l'ordine, si ha <math>h\leq\lambda\leq h+1</math>. Poiché il genere è un intero, questo è univocamente determinato dall'ordine se questo è frazionario; se invece l'ordine è intero si possono avere entrambi i casi. Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

:Una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione.

== Bibliografia ==

Un esempio della suddetta eccezione si ha con la funzione esponenziale che assume tutti i valori complessi ad eccezione dello 0.

*{{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|anno=1979|editore=McGraw Hill|edizione=terza edizione|id=ISBN 0-07-000657-1}}

== Voci correlate ==

*[[Funzione meromorfa]]

{{Portale|matematica}}