Funzione intera: differenze tra le versioni

Versione delle 18:37, 10 giu 2010

Versione delle 13:48, 11 giu 2010

Riga 28:

:<math>f^{(n)}(z)\leq\frac{n!M}{R^n},</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''m'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^m</math> per una costante ''C'' e per un intero ''nm'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''m''.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[Singolarità_isolata#Singolarit.C3.A0_eliminabileSingolarità eliminabile|singolarità eliminabile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

Riga 36:

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r},</math>

dove ''M_f''(''r'' ) indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione (intera) <math>\cos\sqrt{z}</math>.

== Zeri ==