Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni
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Il '''modello autoregressivo a media mobile''' è un tipo di [[modello matematico]] [[Linearità (matematica)|lineare]] che fornisce istante per istante un valore di uscita basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita.
A volte denominato '''modello di Box-Jenkins''' dal nome dei suoi inventori [[George Box]] e [[Gwilym Jenkins]], viene utilizzato in [[statistica]] per lo studio delle [[serie storiche]] dei dati o nella modellizzazione soprattutto di sistemi meccanici, idraulici o elettronici.
==Caratteristiche==
Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari.
Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una [[combinazione lineare]] di tutti parametri e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi di quello in entrata (in tal caso si parla di '''modello improprio''').
Algebricamente, i valori in entrata e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso <math>c</math> facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri <math>n</math>, sommato all'entrata moltiplicata per un coefficiente <math>d</math> nei sistemi impropri. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in entrata per un vettore <math>b</math> e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice <math>A</math>.
===Linearità===
Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:
*'''linearità''': moltiplicando tutti i valori in entrata per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.
*'''tempo invarianza''': una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").
Data una serie storica di valori di <math> X_t \, </math> , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, di una parte [[Modello lineare autoregressivo|autoregressiva (AR)]] e di una parte di [[Modello moving average|media mobile (MA)]].
Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.
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