Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni

Versione delle 21:54, 26 giu 2010

Versione delle 22:09, 26 giu 2010

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Data una serie storica di valori di <math> X_t \, </math> , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, di una parte [[Modello lineare autoregressivo|autoregressiva (AR)]] e di una parte di [[Modello moving average|media mobile (MA)]].

Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.

In particolare, il modello può essere assimilato ad un sistema dinamico lineare a tempo continuo le cui coppie ingresso-uscita '''(u(.), y(.))''' sono legate da un’equazione differenziale lineare di ordine n, del tipo:

===Versione discreta e continua===

:<math> y^{(n)} (t)+ {\alpha_1} y^{(n-1)} (t)+ ...+ {\alpha_n} y^{(0)} (t) = {\beta_0} u^{(n)}(t)+ {\beta_1} u^{(n-1)}(t)+...+ {\beta_n} u^{(0)}(t) \, </math>

Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in [[Numeri naturali|N]], è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice <math>A</math> non dconterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la '''[[derivata]]''' di un parametro in funzione dei valori degli altri.

È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al [[teorema di Shannon]], è opportuno scegliere una frequenza di campionamento che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.

===Descrizione mediante funzione di trasferimento===

dove:

Chiamando u(t) la funzione che descrive i valori in entrata in funzione del tempo e y(t) la funzione che rappresenta l'uscita, sapendo che il modello arma ha un uscita che è una combinazione lineare dei precedenti valori dell'entrata e dell'uscita si calcola y(t) come:

<math> y^{(i)} \, </math> e <math> u^{(i)} \,</math> denotano la derivata i-esima.

Nei sistemi discreti l'equazione diviene:

:<math> y(t)+ {\alpha_1} y(t-1)+ ...+ {\alpha_n} y(t-n) = {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>

mentre nel caso di sistema continuo si ha

:<math> y^{(n)} (t)+ {\alpha_1} y^{(n-1)} (t)+ ...+ {\alpha_n} y^{(0)} (t) = {\beta_0} u^{(n)}(t)+ {\beta_1} u^{(n-1)}(t)+...+ {\beta_n} u^{(0)}(t) \, </math>

che derivata diventa:

che risolta secondo la variabile <math> y(t) \, </math> risulta:

:<math> y(t) = -{\alpha_1} y(t-1)-...- {\alpha_n} y(t-n) + {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>