Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni
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Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti <math> {\alpha} \,</math> e una parte di moving average MA dei coefficienti <math>{\beta} \,</math>.
==Proprietà==
Il vantaggio dei modelli ARMA è che possono essere analizzati con molta facilità rispetto agli altri modelli, pur mantenendo un livello di approssimazione relativamente basso.
Un sistema continuo, in particolare, sarebbe un sistema di equazioni differenziali difficili da trattare senza considerare la matrice A.
Analizzando gli [[autovalori]] della matrice A è possibile determinare se il sistema è '''stabile''' o meno, ossia se il valore in uscita può tendere a valori infiniti per alcune entrate non infinite. In particolare:
*Se '''tutti''' gli autovalori hanno parte reale negativa il sistema è asintoticamente stabile
*Se '''qualche''' autovalore ha parte reale positiva il sistema può aver eun'uscita che tende a valori infiniti (positivi o negativi)
*Se esistono autovalori nulli il sistema può mantenere un'uscita non nulla all'infinito, anche se l'entrata rimane nulla dopo alcuni valori iniziali.
Inoltre più gli autovalori hanno una parte reale bassa e più velocemente il sistema tende a stabilizzarsi, e viceversa più la parte reale è alta e più velocemente tende a infinito.
Si possono anche ottenere informazioni dalla parte immaginaria, in particolare se alcuni valori hanno una parte immaginaria non nulla l'uscita tenderà a oscillare con una frequenza proporzionale al valore immaginario e uno [[smorzamento]] proporzionale alla parte reale degli autovalori.
==Modello di sistemi composti==
È possibile usare l'uscita di un modello ARMA come entrata di un altro modello, eventualmente sommando le uscite di più modelli, moltiplicandole per costanti arbitrarie e creando degli anelli (ossia mettendo l'uscita di un modello in entrata a se stesso), ottenendo un sistema ARMA equivalente alla composizioen di più modelli semplici.
Si può modelizzare facilmente un modello composto seguendo le seguenti regole:
*Due o più modelli in parallelo hanno una funzione di trasferimento che è la somma delle rispettive funzioni.
*Due modelli in serie hanno una FdT che è il prodotto delle rispettive FdT
*Un modello moltiplicato per una costante ha una FdT moltiplicata per quella costante
*Un modello in retroazione (ossia la cui entrata è collegata all'uscita) ha FdT uguale a
:<math>r(t)=\frac{f(t)}{1-g(t)f(t)}</math>
dove f(t) è la FdT e g(t) è una funzione posta lungo l'anello di retroazione (se non è presente equivale a 1), mentre r(t) è la FdT del sistema composto
== ARMA come MA(∞) ==
È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un [[Modello moving average]] di tipo MA(∞). Analiticamente, è sufficiente calcolare [[Ricorsione|ricorsivamente]] i valori di <math>y(t-k)</math> o <math>y(t)^{(n-1)}</math> con k>0 sostituendoli con i valori dell'entrata.
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