Modello autoregressivo a media mobile: differenze tra le versioni
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Il '''modello autoregressivo a media mobile''', detto anche '''ARMA''', è un tipo di [[modello matematico]] [[Linearità (matematica)|lineare]] che fornisce istante per istante un valore di uscita basandosi sui precedenti valori in entrata e in uscita.
A volte denominato '''modello di Box-Jenkins''' dal nome dei suoi inventori [[George Box]] e [[Gwilym Jenkins]], viene utilizzato in [[statistica]] per lo studio delle [[serie storiche]] dei dati e in [[ingegneria]] nella modellizzazione soprattutto di sistemi meccanici, idraulici o elettronici.
==Caratteristiche==
Si considera il sistema da descrivere come un'entità che, istante per istante, riceve un valore in entrata (input) e ne genera uno in uscita (output), calcolati in base a dei parametri interni che variano a loro volta in base a leggi lineari.
Ogni parametro interno, dunque, verrà ad ogni istante posto uguale a una [[combinazione lineare]] di tutti parametri e del valore in entrata, e il valore in uscita sarà a sua volta una combinazione lineare dei parametri interni e in rari casi di quello in entrata (in tal caso si parla di '''modello improprio''').
Algebricamente, i valori in entrata e in uscita in un dato istante sono due scalari e i parametri interni formano un vettore. Lo scalare in uscita è il prodotto tra il vettore dei parametri e un vettore fisso <math>c</math> facente parte del modello e di dimensione uguale al numero dei parametri <math>n</math>, sommato all'entrata moltiplicata per un coefficiente <math>d</math> nei sistemi impropri. Il vettore dei parametri è in ogni istante calcolato come la somma dello scalare in entrata per un vettore <math>b</math> e il precedente vettore dei parametri moltiplicato per una matrice <math>A</math>.
===Linearità===
Un modello ARMA ha diverse caratteristiche che lo rendono semplice da analizzare utilizzando degli strumenti matematici sviluppati dagli ingegneri nel corso del tempo:
*'''linearità''': moltiplicando tutti i valori in entrata per un fattore k anche l'uscita risulterà moltiplicata per tale valore. Sommando due sequenze di valori in input si otterrà in output la somma delle sequenze di output che si sarebbero ottenute fornendo i due input indipendentemente.
*'''tempo invarianza''': una certa sequenza in input darà una certa sequenza in output indipendentemente dalla quantità di istanti trascorsi dall'istante zero. Lo stesso concetto di "istante zero" è puramente convenzionale poiché il sistema tende a "dimenticare" il passato, ossia ad esserne influenzato in maniera esponenzialmente decrescente nel corso del tempo (caratteristica detta "evanescenza").
Data una serie storica di valori di <math> X_t \, </math> , il modello di ARMA è uno strumento per analizzare e predire dei valori futuri e consiste di due parti, di una parte [[Modello lineare autoregressivo|autoregressiva (AR)]] e di una parte di [[Modello moving average|media mobile (MA)]].
Il modello è solitamente indicato con ARMA (p,q) dove p è l'ordine della parte autoregressiva e q è l'ordine della parte media mobile.
===Versione discreta e continua===
Sebbene il modello appena descritto sia discreto, ossia agisce "a scatti" su istanti di tempo numerabili in [[Numeri naturali|N]], è possibile con molta facilità ricavarne la versione continua. In tal caso la matrice <math>A</math> non dconterrà le combinazioni lineari che forniscono un parametro in funzione degli altri, ma quelle che forniscono la '''[[derivata]]''' di un parametro in funzione dei valori degli altri.
È possibile approssimare un modello continuo con un modello discreto assumendo di scegliere un intervallo di tempo tra un istante e l'altro sufficientemente piccolo da trascurare l'approssimazione. In genere, in base al [[teorema di Shannon]], è opportuno scegliere una frequenza di campionamento che sia almeno doppia rispetto alle frequenze in gioco.
==Descrizione mediante funzione di trasferimento==
Chiamando u(t) la funzione che descrive i valori in entrata in funzione del tempo e y(t) la funzione che rappresenta l'uscita, sapendo che il modello arma ha un'uscita che è una combinazione lineare dei precedenti valori dell'entrata e dell'uscita si calcola y(t) come:
:<math> y(t)+ {\alpha_1} y(t-1)+ ...+ {\alpha_n} y(t-n) = {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>
mentre nel caso di sistema continuo si ha
:<math> y^{(n)} (t)+ {\alpha_1} y^{(n-1)} (t)+ ...+ {\alpha_n} y^{(0)} (t) = {\beta_0} u^{(n)}(t)+ {\beta_1} u^{(n-1)}(t)+...+ {\beta_n} u^{(0)}(t) \, </math>
che derivata diventa:
:<math> y(t) = -{\alpha_1} y(t-1)-...- {\alpha_n} y(t-n) + {\beta_0} u(t)+ {\beta_1} u(t-1)+...+ {\beta_n} u(t-n) \, </math>
Risulta essere quindi la somma di un termine autoregressivo AR costituito dalla parte con i coefficienti <math> {\alpha} \,</math> e una parte di moving average MA dei coefficienti <math>{\beta} \,</math>.
È possibile introdurre un operatore ritardo <math>z</math> (in genere si scrive <math>s</math> per i sistemi continui) che ha lo scopo di ritardare o anticipare un valore, ossia
:<math>f(t)=zf(t-1)</math>
e dunque riscrivere il modello come
:<math> y(t)+ z^{-1}{\alpha_1} y(t)+ ...+ z^{-n}{\alpha_n} y(t) = {\beta_0} u(t)+ z^{-1}{\beta_1} u(t)+...+ z^{-n}{\beta_n} u(t) \, </math>
e raccogliere y(t) a primo membro ottenendo una frazione
:<math> y(t) = \frac{{\beta_0} u(t)+ z^{-1}{\beta_1} u(t)+...+ z^{-n}{\beta_n} u(t)}{z^{-1}{\alpha_1} y(t)+ ...+ z^{-n}{\alpha_n} y(t)} \, </math>
Questa rappresentazione del modello è detta [[Funzione di trasferimento]].
==Proprietà==
Il vantaggio dei modelli ARMA è che possono essere analizzati con molta facilità rispetto agli altri modelli, pur mantenendo un livello di approssimazione relativamente basso.
Un sistema continuo, in particolare, sarebbe un sistema di equazioni differenziali difficili da trattare senza considerare la matrice A.
Analizzando gli [[autovalori]] della matrice A è possibile determinare se il sistema è '''stabile''' o meno, ossia se il valore in uscita può tendere a valori infiniti per alcune entrate non infinite. In particolare:
*Se '''tutti''' gli autovalori hanno parte reale negativa il sistema è asintoticamente stabile
*Se '''qualche''' autovalore ha parte reale positiva il sistema può avere un'uscita che tende a valori infiniti (positivi o negativi)
*Se esistono autovalori nulli il sistema può mantenere un'uscita non nulla all'infinito, anche se l'entrata rimane nulla dopo alcuni valori iniziali.
Inoltre più gli autovalori hanno una parte reale bassa e più velocemente il sistema tende a stabilizzarsi, e viceversa più la parte reale è alta e più velocemente tende a infinito.
Si possono anche ottenere informazioni dalla parte immaginaria, in particolare se alcuni valori hanno una parte immaginaria non nulla l'uscita tenderà a oscillare con una frequenza proporzionale al valore immaginario e un'ampiezza che diminuirà o aumenterà con velocità esponenziale e coefficiente proporzionale alla parte reale degli autovalori.
==Modello di sistemi composti==
È possibile usare l'uscita di un modello ARMA come entrata di un altro modello, eventualmente sommando le uscite di più modelli, moltiplicandole per costanti arbitrarie e creando degli anelli (ossia mettendo l'uscita di un modello in entrata a se stesso), ottenendo un sistema ARMA equivalente alla composizioen di più modelli semplici.
Si può modelizzare facilmente un modello composto seguendo le seguenti regole:
*Due o più modelli in parallelo hanno una funzione di trasferimento che è la somma delle rispettive funzioni.
*Due modelli in serie hanno una FdT che è il prodotto delle rispettive FdT
*Un modello moltiplicato per una costante ha una FdT moltiplicata per quella costante
*Un modello in retroazione (ossia la cui entrata è collegata all'uscita) ha FdT uguale a
:<math>r(t)=\frac{f(t)}{1-g(t)f(t)}</math>
dove f(t) è la FdT e g(t) è una funzione posta lungo l'anello di retroazione (se non è presente equivale a 1), mentre r(t) è la FdT del sistema composto
== ARMA come MA(∞) ==
È dimostrabile che un qualunque processo ARMA stazionario può essere espresso in modo equivalente come un [[Modello moving average]] di tipo MA(∞). Analiticamente, è sufficiente calcolare [[Ricorsione|ricorsivamente]] i valori di <math>y(t-k)</math> o <math>y(t)^{(n-1)}</math> con k>0 sostituendoli con i valori dell'entrata.
Intuitivamente, basta pensare che l'uscita dipende dai valori precedenti dell'entrata e dell'uscita stessa, ma questi ultimi dipendono ancora una volta dai precedenti valori in entrata e in uscita e procedendo a ritroso l'influenza delle uscite precedenti diventa asintoticamente meno influente sull'uscita attuale.
==Voci correlate==
*[[Modello lineare autoregressivo]]
*[[Modello a media mobile]]
*[[Serie storiche]]
*[[ARIMA|Modelli autoregressivi integrati media mobile (ARIMA)]]
==Bibliografia==
* George Edward Pelham Box e Gwilym Meirion Jenkins, ''Time Series Analysis: Forecasting and Control'', Holden-Day, [[1979]]
* P. Barone, A. Guspini,''Confronto fra le prestazioni numeriche di tre algoritmi per la stima dei parametri di modelli ARMA univariati : il caso MA(1)'', [[Roma]], Istituto per le applicazioni del calcolo "Mauro Picone", Consiglio nazionale delle ricerche, [[1983]]
* Estela Bee Dagum, ''Analisi Delle Serie Storiche: modellistica, previsione e scomposizione'', ISBN 88-470-0146-3, Springer, [[2002]]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Analisi delle serie storiche]]
[[de:ARMA-Modell]]
[[en:Autoregressive moving average model]]
[[gl:Modelo autorregresivo de media móbil]]
[[ja:自己回帰移動平均モデル]]
[[su:Autoregressive moving average model]]
[[tr:Otoregresif hareketli ortalamalar modeli]]
[[zh:ARMA模型]]
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