Distribuzione beta-binomiale: differenze tra le versioni

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La '''variabile casuale betabinomiale''' è una [[variabile casuale discreta]] che può essere vista come generalizzazione della [[variabile casuale binomiale]], nel senso che come in quest'ultima si vuole determinare la probabilità di un successo su ''n'', ma contrariamente alla Binomiale la probabilità di successo ππ non è un parametro fisso, ma un valore incerto distribuito come una [[variabile casuale Beta]] B(a,b). Si tratta infatti di una [[Mistura di distribuzioni|mistura]] di Binomiale in cui il parametro ππ ha distribuzione Beta.

La v.c. betabinomiale ha tre parametri: ''n'', ''a'', ''b''

== Definizione ==

Se ''X''~BeB(n,a,b) è una variabile casuale distribuita come una v.c. betabinomiale con i parametri ''n'', ''a'', ''b'' allora per <math>x \ge 0</math>

:<math>P(X=x) = C {n \choose x} \Gamma(a+x) \Gamma(b+n-x)</math>

dove la costante ''C'' è data da

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::<math> = \frac{260}{53} \ \frac{2}{77} = 0,12741975 = 12,74%</math>

[[ImmagineFile:BetaBinomVsBinom.svg|300px|thumb|Le due v.c. usate nell'esempio]]

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* analogamente per l'urna B, la distribuzione a posteriori è una <math>Beta(a_B=1+10,b_B=1+15-10)</math>

Per procedere è necessario fare ricorso alla v.c. beta-binomiale, infatti sapendo che su 50 palline estratte 12 sono rosse, si può calcolare la probabilità <math>P(U=A|X=12,n=50)</math> che si tratti dell'urna A, nel seguente modo

:<math>P(U=A|X=x,n)=\frac{P(U=A) BetaB(X=x,n,a_A,b_A)}{P(U=A) BetaB(X=x,n,a_A,b_A) + P(U=B) BetaB(X=x,n,a_B,b_B)}</math>

che grazie al fatto che P(U=B)=1-P(U=A)=1/2=P(U=A) si semplifica ottenendo

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[[de:Beta-Binomialverteilung]]

[[en:Beta-binomial modeldistribution]]