Processo di Poisson: differenze tra le versioni

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Versione delle 05:20, 8 ott 2010

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{{S|teoria della probabilità|statistica}}

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] definito riguardo il manifestarsi di eventi. Questo processo di conta, dato come una funzione del tempo ''N''(''t''), rappresenta il numero di eventi a partire dal tempo ''t = 0''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''b'') −− ''N''(''a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]].

Il processo di Poisson è un processo tempo continuo: la sua controparte tempo discreta è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche esempi di [[processo markoviano]] tempo continuo.

== Tipi di processi di Poisson ==

=== Processo di Poisson omogeneo ===

[[ImmagineFile:Sampleprocess.png|266px|right|Sample Poisson Process ''X''_''t'';]]

Un processo di Poisson ''omogeneo'' è caratterizzato da un parametro di frequenza &lambda;λ, detto '''intensità''', tale che il numero di eventi in un intervallo di tempo <math>(t,t+ \tau]</math> seguono una [[distribuzione di Poisson]] con il parametro associato <math>\lambda\tau</math>. Questa relazione è data come

:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

dove ''N''(''t''&nbsp;+&nbsp;&tau;τ)&nbsp;&minus;−&nbsp;''N''(''t'') descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (''t'',&nbsp;''t''&nbsp;+&nbsp;&tau;τ].

Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare &lambda;λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza &lambda;λ, che corrisponde con il [[valore atteso]] del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.

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'''Nel dettaglio:'''

Avendo assunto che &lambda;λ sia costante possiamo ritenere

<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = P[N(T) = k]</math>

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con <math>T = (t,t+ \tau]</math>, in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.

Possiamo inoltre suddividere ''T'' in ''n'' intervallini di ampiezza ''&delta;δ'' tale che <math>T = n\delta</math> e sufficientemente piccoli tale che

<math>P [N(\delta) = 1] = p</math>

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<math>P [N(\delta) = 0] = 1- p</math>

<math>P [N(\delta) > 1]</math> &asymp;≈ 0

Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una [[Variabile casuale bernoulliana|distribuzione di probabilità di Bernoulli]] il cui [[valore atteso|valore medio]] risulta ''p''. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata ''T'' risulta quindi:

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<math>P [N(T) = k] = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}</math>

sostituendo quindi ''p'' con <math>\lambda T/n</math> e calcolando il limite per ''n'' → ∞, ovvero per ''&delta;δ''→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:

<math> P [(N(T) = k] = \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

=== Processo di Poisson non omogeneo ===

=== Processo di Poisson spaziale ===

== Voci correlate ==

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[[he:תהליך פואסון]]

[[pl:Proces Poissona]]

[[ru:ПуассоновскийПуассона процесс]]

[[uk:Пуассонівський процес]]

[[vi:Quá trình Poisson]]