Geometria: differenze tra le versioni
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[[Image:Woman teaching geometry.jpg|thumb|300px|Illustrazione [[XIV secolo|trecentesca]]: una donna insegna geometria]]
La '''geometria''' (dal [[greco antico]], letteralmente ''misurazione della terra'') è quella parte della [[scienza]] [[matematica]] che si occupa delle forme nel [[piano]] e nello [[spazio]] e delle loro mutue relazioni.
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La geometria coincide fino al [[XIX secolo]] con la [[geometria euclidea]]. Questa definisce come [[concetto primitivo|concetti primitivi]] il [[punto]], la [[retta]] e il [[piano (geometria)|piano]], e assume la veridicità di alcuni [[assioma|assiomi]], gli [[Assiomi di Euclide]]. Da questi assiomi vengono quindi ricavati dei [[teorema|teoremi]] anche complessi, come il [[Teorema di Pitagora]].
La scelta dei concetti primitivi e degli assiomi è motivata dal desiderio di rappresentare la realtà, e in particolare gli oggetti nello [[spazio]] tridimensionale in cui viviamo. Concetti primitivi come la retta ed il piano vengono descritti informalmente come "fili e fogli di carta senza spessore", e d'altro canto gli oggetti della vita reale vengono idealizzati
=== Geometria piana ===
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La [[geometria piana]] si occupa delle costruzioni geometriche nel piano. A partire dal concetto primitivo di retta, vengono costruiti i [[segmento|segmenti]], e quindi i [[poligono|poligoni]] come il [[triangolo]], il [[quadrato]], il [[pentagono]], l'[[esagono]], ecc.
Le quantità numeriche importanti nella geometria piana sono la [[lunghezza]], l'[[angolo]] e l'[[area]]. Ogni segmento ha una lunghezza, e due segmenti che si incontrano in un estremo formano un angolo. Ogni poligono ha un'area. Molti teoremi della geometria piana mettono in relazione le lunghezze, angoli e aree presenti in alcune figure geometriche. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo risulta essere un [[angolo piatto]], e l'area di un [[rettangolo]] si esprime come prodotto delle lunghezze dei segmenti di ''base'' e ''altezza''. La [[trigonometria]] studia le relazioni fra gli angoli e le lunghezze.
=== Geometria solida ===
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=== Geometria affine ===
[[Image:PlaneIntersection.png|thumb|right|Due piani
In uno spazio vettoriale l'origine (cioè il punto da cui partono gli assi, di coordinate tutte nulle) gioca un ruolo fondamentale: per poter usare in modo efficace l'[[algebra lineare]], si considerano infatti solo sottospazi passanti per l'origine. In questo modo si ottengono delle relazioni eleganti fra i sottospazi, come la [[formula di Grassmann]].
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In questa geometria molte situazioni si semplificano: due piani distinti si intersecano sempre in una retta, e oggetti diversi della geometria analitica (come le coniche ellisse, parabola e iperbole) risultano essere equivalenti in questo nuovo contesto.
La geometria proiettiva è anche un esempio di ''compattificazione'': similmente a quanto accade con la [[proiezione stereografica]], aggiungendo i punti all'infinito lo spazio diventa [[spazio compatto|compatto]],
=== Varietà algebriche ===
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Come lo studio della [[geometria affine]] fa largo uso dell'[[algebra lineare]], quello delle varietà algebriche è strettamente collegato all'[[algebra commutativa]].
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[[Image:Saddle pt.jpg|thumb|left|Un [[punto di sella]] ha curvatura negativa]]
La [[geometria differenziale]] è lo studio di oggetti geometrici tramite l'[[analisi matematica|analisi]]. Gli oggetti geometrici non sono necessariamente definiti da polinomi (come nella geometria algebrica), ma sono ad esempio [[curva (matematica)|curve]] e [[superficie (matematica)|superfici]], cioè oggetti che, visti localmente con una lente di ingrandimento, sembrano quasi curvilinei o piatti. Oggetti cioè "senza spessore", e magari un po' curvi. Come la superficie terrestre, che all'uomo sembra piatta, benché non lo sia.
Questo concetto di "spazio curvo" è espresso tramite la nozione di [[varietà differenziabile]]. La sua definizione non necessita neppure di "vivere" in uno spazio ambiente, ed è quindi usata ad esempio nella [[relatività generale]] per descrivere intrinsecamente la forma dell'universo. Una varietà può essere dotata di una proprietà fondamentale, la ''curvatura'', che viene misurata tramite oggetti matematici molto complessi, come il [[tensore di Riemann]]. Nel caso in cui lo spazio sia una curva o una superficie, questi oggetti matematici risultano più semplici: si parla ad esempio di [[curvatura gaussiana]] per le superfici.
Su una varietà dotata di curvatura, detta [[varietà riemanniana]], sono definite una [[distanza (matematica)|distanza]] fra punti, e le [[geodetica|geodetiche]]: queste sono curve che modellizzano i percorsi localmente più brevi, come le rette nel piano, o i [[meridiano (geografia)|meridiani]] sulla superficie terrestre.
Con la geometria differenziale è possibile costruire un "piano" in cui valgono tutti i [[assiomi di Euclide|postulati di Euclide]], tranne il [[V postulato di Euclide|quinto]], quello ''delle parallele''. Questo postulato ha avuto un'importanza storica fondamentale, perché ci sono voluti 2000 anni per dimostrare la sua effettiva dipendenza dai precedenti. Asserisce che, fissati una retta <math> r </math> ed un punto <math> P </math> non contenuto in <math> r </math>, esiste un'unica retta <math> s </math> parallela a <math> r </math> e passante per <math> P </math>.
Una [[geometria non euclidea]] è una geometria in cui valgono tutti gli assiomi di Euclide, tranne quello delle parallele. La [[sfera]], con le geodetiche che giocano il ruolo delle rette, fornisce un esempio semplice di geometria non euclidea: due geodetiche si intersecano ''sempre'' in due [[punti antipodali]], e quindi non ci sono rette parallele. Un tale esempio di geometria è detta [[geometria ellittica|ellittica]]. Esistono anche esempi opposti, in cui ci sono "così tante" rette parallele, che le rette <math> s </math> parallele a <math> r </math> e passanti per <math> P </math> sono infinite (e non una). Questo tipo di geometria è detta [[geometria iperbolica|iperbolica]], ed è più difficile da descrivere concretamente.
== Topologia ==
[[Immagine:Möbius strip.jpg|thumb|right|Il [[nastro di Möbius]]]]
La [[topologia]] è infine lo studio delle forme, e di tutte quelle proprietà degli enti geometrici che non cambiano quando questi vengono deformati in modo continuo, senza strappi. La topologia studia tutti gli oggetti geometrici (definiti in modo algebrico, differenziale, o quant'altro) guardando solo la loro forma. Distingue ad esempio la [[sfera]] dal [[toro (geometria)|toro]], perché quest'ultimo ha "un buco in mezzo". Studia le proprietà di [[spazio connesso|connessione]] (spazi "fatti di un pezzo solo") e di [[spazio compatto|compattezza]] (spazi "limitati"), e le [[funzione continua|funzioni continue]] fra questi.
Le forme degli oggetti vengono codificate tramite oggetti algebrici, come il [[gruppo fondamentale]], un [[gruppo (matematica)|gruppo]] associato ad ogni [[spazio topologico]], che codifica in modo raffinato la presenza di "buchi".
== Cenni storici ==
Il suo sviluppo è molto antico, anche dato il numero di applicazioni pratiche che consente e per le quali è stata studiata, e non mancò di dare origine ad una categoria di studiosi che ebbero spesso, nelle civiltà remote, attribuzioni sacre o sacerdotali. Presso l'[[Antica Grecia]] si diffuse massicciamente l'uso della riga e del [[compasso]] (sebbene pare che questi strumenti fossero già stati inventati altrove).
La geometria servì di base per lo sviluppo della [[geografia]], e pian piano, soprattutto insieme alle tecniche per la [[navigazione]] marittima, si cominciarono a studiare funzioni che avrebbero poi dato luogo alla [[geometria analitica]] ed alla [[trigonometria]].
▲*[[Geometrie non euclidee]]
==Voci correlate==
*[[matematica]]
*[[algebra]]
== Collegamenti esterni ==
* [http://www.elvenkids.com/tools/geometria/Geometria_it.php Geometria online] Calcola automaticamente aree, perimetri, ecc. di figure piane e solide
[[Categoria:Geometria]]
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