Circuito RL: differenze tra le versioni

Versione delle 11:21, 4 dic 2010

Versione delle 17:16, 27 dic 2010

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Applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] delle correnti, l'equazione del circuito è:

:(1) <math>\;\; i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{v(t)}{R} + i_L(t) = 0</math>

dove <math>i(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

:(2) <math>\;\;v(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}</math>

allora lal'equazione (1)del circuito diventa un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale omogenea del primo ordine]]:

:(3) <math>\;\;\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0</math>

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

:(4) <math>\;\;i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>

La tensione segue la:

:(5) <math>\;\;v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>

Al rapporto <math>\frac{L}{R} = \tau \, [s]</math> viene dato il nome di '''costante di tempo''' del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantità di corrente contenuta nell'induttore tramite la relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: tale corrente elettrica si dissipa completamente nella resistenza ''R'' secondo la legge (4)data dalla soluzione dell'equazione del circuito: la corrente tende esponenzialmente a zero per <math>t \to \infty</math>. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

:<math>i(\tau) = \frac{1}{e}</math>