Circuito RL: differenze tra le versioni

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== Circuito RL con generatore di corrente costante ==

[[File:Circuito RL con generatore costante.JPG|thumb|Circuito RL con generatore di corrente costante]]

[[File:RL generatore.JPG|thumb|Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL con generatore di corrente costante]]

Ipotizziamo che il generatore di corrente <math>I_0</math> costante nel tempo, possiamo scrivere l'[[Leggi di Kirchhoff|equazione di Kirchhoff]] delle tensioni:

:(6) <math>\quad I_0 = i(t) + i_L(t) = \frac{v(t)}{R} + i_L(t)</math>

dove <math>v(t)</math> è la [[tensione elettrica|tensione]]. Sostituendo lanella precedente relazione l'equazione caratteristica dell'induttore (2), la (6)si diventaottiene un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale non omogenea del primo ordine]]:

:(7) <math>\quad I_0 = \frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} i_L(t) = \frac{I_0}{\tau}</math>

dove <math>\tau = \frac{L}{R}</math> è al costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

:(8) <math>\;\; i_L(t) = \left(i_L(0) - I_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + I_0</math>

La tensione segue la:

:(9) <math>\;\;v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot (i_L(0) - I_0) \cdot e^{-t / \tau}</math>

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi di ''L'' <math>i_L(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>i_L(t=0) = i_L(0)</math> fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>i_L(t) \to I_0</math>. Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>R \cdot i_L(0)</math> fino a tendere al valore costante <math>V_0 = R I_0</math>.

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Quando al tendere di <math>t \to \infty</math> la corrente <math>i_L(t) \to I_0 = cost</math>, il circuito si comporta come un [[corto circuito]]. A regime di corrente costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di corrente costanti e da un induttore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza dell'induttore sia in corto circuito.

In particolare la risposta del circuito RL ad una corrente costante è composta di due parti: il termine

:<math>\left(i_L(0) - I_0 \right) e^{-t/ \tau}</math> si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

:è detto risposta transitoria o transiente del circuito, mentre il termine <math>I_0</math> siè chiamala risposta permanente o a regime del circuito.

== Circuito RL con risposta al gradino e all'onda quadra ==