Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 11:18, 4 feb 2011

Versione delle 17:02, 5 feb 2011

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== Proprietà basilari ==

Come le [[estensione algebrica|estensioni algebriche]], le estensioni intere sono transitive: ovvero, se <math>A\subseteq B</math> e <math>B\subseteq C</math> sono estensioni intere, allora anche <math>A\subseteq C</math> è intera; in particolare, la chiusura integrale di ''A'' in ''B'' è il più grande sottoanello di ''B'' che è intero su ''A''.

Le estensioni intere inoltre si conservano attraverso quozienti e localizzazioni: più precisamente

*se <math>A\subseteq B</math> è intera, ''J'' un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''B'' e <math>I=J\cap A</math> (che è un ideale di ''A''), allora l'estensione <math>\frac{A}{I}\subseteq \frac{B}{J}</math> è intera;

*se ''S'' è una [[parte moltiplicativa]] di ''A'' allora l'estensione <math>S^{-1}A\subseteq S^{-1}B</math> è intera.

Le estensioni intere "conservano i [[campo (matematica)|campi]]", nel senso che, se <math>A\subseteq B</math> è intera, ''A'' è un campo se e solo se lo è ''B''.

== Ideali primi ==

<spanIn style="background:#ffffaa;un'estensione color:#444444"intera <math>LeA\subseteq estensioniB</math> intereè sipossibile "comportanolegare bene" nel trasferiregli [[ideale primo|ideali primi]] dadi ''A'' a quelli di ''B''.</span>^[mah]

La prima proprietà riguarda gli [[ideale massimale|ideali massimali]] (che, essendo l'anello commutativo, sono in particolare primi): un ideale primo ''Q'' di ''B'' è massimale se e solo se <math>Q\subseteq A</math> è un ideale massimale di ''A''. <spanQuesto style="background:#ffffaa;è color:#444444">Questouna derivaconseguenza daldel fatto che un'estensionele interaestensioni preservaintere conservano i campi...</span>^{[prima, dopo, durante...]}

Vi sono tre teoremi generali che riguardano il comportamento degli ideali primi in un'estensione intera <mat>A\subseteq B</math>.

Il primo è il ''teorema del lying-over'': per ogni ideale primo ''P'' di ''A'' esiste un ideale primo ''Q'' di ''B'' tale che <math>Q\cap A=P</math>; suuna questasua baseriformulazione è che l'applicazione tra gli [[spettro di un anello|spettri]] corrispondente all'inclusione è suriettiva. Su questo risultato si innesta il ''teorema del going-up'' (o ''primo teorema di Cohen-Seidenberg''), il quale afferma che, se ''P''₁ e ''P''₂ sono ideali primi di ''A'', l'uno contenuto nell'altro, e ''Q''₁ è un'ideale primo di ''B'' che si contrae a ''P''₁, allora esiste un ideale primo ''Q''₂, che contiene ''Q''₁, che si contrae a ''P''₂: ovvero è sempre possibile "sollevare" una catena ascendente di ideali primi di ''A'' ad una catena di ideali primi di ''B''.

Il ''teorema di incomparabilità'' afferma che questo sollevamento è, in un certo senso, unico: due ideali primi di ''B'' che si contraggono allo stesso ideale primo di ''A'' non possono essere contenuti l'uno nell'altro. Insieme al teorema del going-up, questo permette di affermare che le estensioni intere preservano la [[dimensione di Krull]], ovvero che ''A'' e ''B'' hanno la stessa dimensione.

Simile al teorema del going-up è il ''teorema del going-down'' (o ''secondo teorema di Cohen-Seidenerg''), che riguarda le catene discendenti anziché quelle ascendenti: se <math>P_1\subseteq P_2</math> sono ideali primi di ''A'' e ''Q''₂ è un ideale primo di ''B'' che si contrae a ''P''₂, allora esiste un ideale primo ''Q''₁, contenuto in ''Q''₂, che si contrae a ''P''₁. Questo è tuttavia meno generale del precedente, in quanto richiede che ''A'' sia un [[dominio d'integrità]] e che sia integralmente chiuso nel suo [[campo dei quozienti]].

== Voci correlate ==

* [[Estensione algebrica]]

{{portale|matematica}}

<nowiki>[[Categoria:Algebra commutativa]]?

[[en:Integrality]]</nowiki>

<span style="background:#ffffaa; color:#444444"></span>