Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni
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== Definizioni ==
Data un'estensione di anelli <math>A\subseteq B</math>, un elemento ''b'' di ''B'' è detto '''intero''' se esiste un polinomio monico <math>P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math> se <math>P(b)=0</math>. Condizioni equivalenti a questa sono:
*''A''[''b''] (il più piccolo anello contenente ''A'' e ''b'') è un ''A''-[[modulo (struttura)|modulo]] finitamente generato;
*''A''[''b''] è contenuto in un sottoanello ''C'' di ''B'' che è un ''A''-modulo finitamente generato;
*esiste un ''A''[''b'']-modulo [[modulo fedele|fedele]] che è finitamente generato come ''A''-modulo.
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Simile al teorema del going-up è il ''teorema del going-down'' (o ''secondo teorema di Cohen-Seidenerg''), che riguarda le catene discendenti anziché quelle ascendenti: se <math>P_1\subseteq P_2</math> sono ideali primi di ''A'' e ''Q''<sub>2</sub> è un ideale primo di ''B'' che si contrae a ''P''<sub>2</sub>, allora esiste un ideale primo ''Q''<sub>1</sub>, contenuto in ''Q''<sub>2</sub>, che si contrae a ''P''<sub>1</sub>. Questo è tuttavia meno generale del precedente, in quanto richiede che ''A'' sia un [[dominio d'integrità]] e che sia integralmente chiuso nel suo [[campo dei quozienti]].
Le tesi di questi quattro teoremi possono anche essere pensate come proprietà che può possedere o meno un'arbitraria estensione di anelli, caratterizzandole poi attraverso condizioni equivalenti: in tal caso essi si riducono al risultato che queste proprietà valgono per le estensioni intere.
== Voci correlate ==
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