Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 18:26, 15 giu 2006

Versione delle 18:40, 18 lug 2006

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== Indipendenza degli assiomi ==

Gli assiomi di Peano sono ''indipendenti'', ovvero nessuno di essi può essere dimsotratodimstrato a partire dagli altri. Ci si può convincere facilmente di questo cercando delle terne <math>(X, x_0, S)</math> per cui un particolare assioma non venga soddisfatto, tutti gli altri siano soddisfatti e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'[[insieme vuoto]]; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un [[modello (logica matematica)|modello]] dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.

* Eliminando (P3), un modello è quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che associa ad <math>n</math> il massimo tra <math>n</math> e <math>1</math>.

* Eliminando (P4), un modello è fornito dall'dalle [[aritmetica modulare|classi di resto modulo ''n'']] con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>).

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i [[numero razionale|razionali]] positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.