Quadrivettore: differenze tra le versioni

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Versione delle 13:09, 22 mar 2011

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In [[relatività ristretta]], un '''quadrivettore''' (o ''tetravettore'') '''A''' è un vettore dello [[spazio-tempo di Minkowski]], rappresentato da una quadrupla di valori <math>({A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3})</math> che nelle trasformazioni di coordinate tra due [[sistema di riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]].

==Definizione==

In [[relatività generale]], il termine '''quadrivettore''' identifica un [[Vettore (fisica)|vettore]] dello [[spazio tangente]] allo [[spazio-tempo]] o anche, per estensione, un vettore dello [[spazio cotangente]]. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

Nello [[spazio di Minkowski]] la [[Norma (matematica)|norma]] quadratica di un quadrivettore è definita come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

:<math>\left|\mathbf A \right|^2 =-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}</math>

Il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], cioè è uno scalare.

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Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma [[componenti covarianti e controvarianti|controvariante]]; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''innalzamento o abbassamento degli indici'' ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].