Linearità (matematica): differenze tra le versioni

Versione delle 11:22, 22 mar 2011

Versione delle 16:25, 14 apr 2011

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== Definizioni ==

=== Applicazioni lineari ===

La ''linearità'' è una particolare proprietà delle funzioni, queste funzioni sono dette lineari.

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

Un'[[applicazione]] <math>f</math> è ''lineare'' se, per ogni elemento <math>x</math> e <math>y</math> su cui agisce la funzione, e per ogni [[scalare]] <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)\,</math>.

=== Linearità fra più enti ===

Dati tre enti matematici ''x'', ''y'' e ''z'', e due costanti ''a'' e ''b'', ''z'' risulta in relazione lineare con ''x'' ed ''y'' se:

:<math>z = ax + by\;</math>

===Derivata===

Se risulta definita la [[derivata]] di ''z'' rispetto ad ''x'', l'ente ''z'' è ''linearmente dipendente'' da ''x'' se:

Più specificamente, in [[algebra]], ''n'' [[vettore|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> di dicono ''[[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]]'' se intercorre tra di essi una relazione

:<math>\frac {\delta z}{\delta x} = K</math>

K = costante

:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math> non sono tutti nulli<ref>Si noti che il vettore <math>\mathbf 0</math> è ''linearmente dipendente'', poiché vale ad esempio la relazione <math>1 \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref>; se invece l'eguaglianza vale solo se tutti i coefficienti <math>a_i</math> sono nulli, si dice che i vettori sono ''linearmente indipendenti''. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>

(con ogni <math>\mathbf v_i \ne \mathbf v</math>), si dice che <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori (generatori), ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte.

===Grafica===

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*[[Funzione lineare]]

*[[Trasformazione lineare]]

== Note ==

<references />

{{Portale|matematica}}