Linearità (matematica): differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 24:
(con ogni <math>\mathbf v_i \ne \mathbf v</math>), si dice che <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori (generatori), ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte.
===
Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice ''lineare'' se è della forma
:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 0 </math>
dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. Un'equazione del genere ammette sempre soluzioni almeno nel campo [[numeri razionali|razionale]]; in particolare, ammette <math>\infty^{r-1}</math> soluzioni reali, dove ''r'' è il numero di coefficienti <math>a_i</math> non nulli; queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve; ad esempio, se <math>a_1 \ne 0</math>, l'equazione di cui sopra ammette le soluzioni
:<math> x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n \right)</math>
dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.
Un'[[equazione differenziale]] [[equazione differenziale ordinaria|ordinaria]] è detta ''lineare'' se è della forma
:<math> a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)</math>
con qualche <math>a_i \ne 0</math>. In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero).
=== Grafica ===
Due enti sono in relazione di linearità se la loro rappresentazione in un [[piano cartesiano]] è una [[retta]] o una semiretta.
| |||