Linearità (matematica): differenze tra le versioni
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=== Equazioni lineari ===
==== Equazioni algebriche ====
Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice ''lineare'' se è della forma
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dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.
==== Equazioni differenziali ====
Un'[[equazione differenziale]] [[equazione differenziale ordinaria|ordinaria]] è detta ''lineare'' se è della forma
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con qualche <math>a_i \ne 0</math>. In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero).
==== Sistemi di equazioni ====
Un [[sistema lineare]] è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di ''tutte'' le equazioni del sistema; equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> ''m''x''n'', il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognita nella ''j''-esima equazione. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere
:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>,
che equivale a
:<math>
\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\
& \vdots & \\
a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix}
\right.</math>.
Un sistema del genere può essere ''irresolubile'', se non ammette soluzioni; ''determinato'', se ammette una e una sola soluzione; ''indeterminato'', se ammette più di una soluzione<ref>Se il [[campo (matematica)|campo]] in cui si stanno cercando le incognite ha [[cardinalità]] infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni; in altre parole, se il campo è <math>\mathbb R</math>, le soluzioni possono essere 0, una o infinite, ma non, ad esempio, 3.</ref> Un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] mette in relazione il [[rango]] della matrice A con la risolubilità del sistema.
=== Luoghi geometrici ===
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