Delta di Dirac: differenze tra le versioni
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== Ulteriori definizioni ==
La funzione delta può essere considerata come il limite di alcune particolari successioni
▲{\operatorname \delta_n(x)} \to \operatorname \delta (x),
ossia che la successione degli integrali tenda a <math>f(0)</math>
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:<math> {\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname \delta_n(x) \operatorname f(x)dx} \to \operatorname f(0) \ </math>
per tutte le [[funzioni continue]] <math>f</math>. La successione <math> {\operatorname \delta_n} </math> si dice allora successione di ''approssimanti'' della <math>{\operatorname \delta} </math>. È da tener presente che si tratta di [[Distribuzione (matematica)#Convergenza e topologia debole|convergenza debole]] nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario.<br>
È possibile dare un criterio generale per le approssimanti della delta: una successione di funzioni <math> {\operatorname \delta_n} </math> localmente integrabili reali convergono (in senso debole) alla delta, se
* <math> \forall \epsilon > 0</math>, le successioni:
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:<math>\forall n \in \mathbb{N}</math>, dove K è un numero reale positivo indipendente da n.
Ecco alcune tra le successioni:
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|}
<br style="clear:both;" />
===Rappresentazione di Fourier della delta===
Ogni funzione appartenente ad <math>L^1(\R)</math> può essere scritta come:
:<math>f(x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk \int_{-\infty}^\infty e^{-iky}f(y)\,dy</math>
Non è possibile scambiare l'ordine di integrazione, tuttavia è possibile scrivere:
:<math>f(x) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^N e^{ikx}dk \int_{-\infty}^\infty e^{-iky}f(y)\,dy</math>
Data la successione:
:<math>\operatorname \delta_n(t) = \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^N e^{ikt}dk </math>
inserendo tale rappresentazione nella precedente scrittura, e sapendo che il teorema di Fubini Tonelli permette di scambiare l'ordine di integrazione, si ottiene:
:<math>f(x) = \lim_{N \to \infty}\int_{-\infty}^\infty \operatorname \delta_n(y - x)f(y) dy</math>
Ovvero la delta di Dirac è definita come il limite della successione:
:<math>\delta (t) = \lim_{N \to \infty} \frac {1}{\pi} \frac {\sin Nt}{t} = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2 \pi} \int_{-N}^N e^{ikt}dk </math>
e dunque la rappresentazione di Fourier della delta è:
:<math>\delta (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikt}dk </math>
== Significato fisico ==
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