Debito pubblico: differenze tra le versioni
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[[Immagine:Public debt percent gdp world map.PNG|thumb|500px|Debito pubblico rapportato al [[prodotto interno lordo]] nei paesi del mondo al 2007]]
==Trattazione matematica del rapporto debito/PIL==
La seguente [[equazione alle differenze]] relativa al rapporto debito/PIL mostra come il valore nominale del debito pubblico al tempo ''t'' è uguale al valore nominale del debito pubblico dell'anno precedente moltiplicato per ''(1 + i)'', dove ''i'' è il tasso di interesse nominale dei titoli di stato più il disavanzo primario (pari alla differenza tra le uscite e le entrate statali, esclusa la spesa per interessi):<ref>Roger Farmer, ''Macroeconomia'', McGraw-Hill (p. 269)</ref>
:<math>\ B_{t}=B_{t-1}(1+i) + D_t</math>
Dividendo l'equazione per il PIL e ponendo che l'incremento del PIL dal tempo ''t-1'' al tempo ''t'' sia pari a ''1+n'' (essendo ''n'' il tasso di crescita del PIL nominale), si ottiene l'equazione alle differenze <math>b_{t}</math>:
:<math>\frac{B_{t}}{Y_{t}}=\frac{B_{t-1}}{Y_{t}}(1+i) + \frac{D_{t}}{Y_{t}}</math>
:<math>\frac{B_{t}}{Y_{t}}=\frac{\frac{B_{t-1}}{Y_{t-1}}}{\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}}(1+i) + \frac{D_{t}}{Y_{t}}</math>
Ora, assumendo costante il rapporto tra disavanzo primario e PIL, si ha:
:<math>b_{t} = b_{t-1}\frac{1+i}{1+n} + d</math>
Calcolando <math>b_{1}</math> si ottiene:
:<math>b_{1}=b_{0}\frac{1+i}{1+n} + d</math>
Calcolando <math>b_{2}</math> si ottiene:
:<math>b_{2}=b_{1}\frac{1+i}{1+n} + d=b_{0}\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{2}+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d</math>
Calcolando <math>b_{3}</math> si ottiene:
:<math>b_{3}=b_{2}\frac{1+i}{1+n} + d=b_{0}\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{3}+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d</math>
Calcolando <math>b_{t}</math> si ottiene:
:<math>b_{t}=b_{0}\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{t}+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{t-1}d+....+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{3}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d</math>
Posto <math>K:=\left(\frac{1+i}{1+n}\right)</math> e posto:
:<math>S_{n}:=\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{t-1}d+....+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{3}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{2}d+\left(\frac{1+i}{1+n}\right)d+d</math>
si ha:
:<math>\ S_{n}:=K^{t-1}d+....+K^{3}d+K^{2}d+Kd+d</math>
Moltiplicando <math>S_{n}</math> per -K si ha:
:<math>\ -S_{n}K=-K^{t}d-....-K^{4}d-K^{3}d-K^{2}d-dK</math>
Sommando membro a membro le due equazioni si ottiene:
:<math>\ S_{n}-S_{n}K=-K^{t}d+d</math> da cui si ricava:
:<math>\ S_{n}=\frac{1-K^{t}}{1-K} d</math>
Pertanto si ha:
:<math>\ b_{t}=K^{t} b_{0} + \dfrac{1-K^{t}}{1-K} d=\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{t}b_0+\dfrac{\left(1-\left(\frac{1+i}{1+n}\right)^{t}\right)}{1-\frac{1+i}{1+n}}d</math>
Ottenuta la successione <math>b_{t}</math> è possibile sapere quale sarà il rapporto debito/PIL dopo 1 anno, 2 anni, ..., t anni conoscendo <math>b_{0}</math>, i, n e d.
Per valutare in quali casi il debito pubblico in rapporto al PIL è crescente o decrescente, considerato che la successione <math>b_{t}</math> è definita negli anni ''1, 2, .., t'' se si considera la funzione corrispondente definita su tutto il tempo e non relativamente ai soli anni essendo tale funziona continua su T se ne può calcolare la derivata, laddove tale funzione sarà crescente o decrescente su tutto T la relativa successione sarà crescente o decrescente relativamente ai soli anni ''1, 2, .., t'' che rappresentano un sottoinsieme di T.
Pertanto la derivata risulta uguale a:
:<math>\dfrac{\textrm{d}b(t)}{\textrm{d}t}=K^{t}log(K)\left(b_{0}-\dfrac{d}{1-K}\right)</math>
===Primo caso: (d>0 e K>1 e quindi n<i) ===
[[Immagine:Caso1.png|400px|thumb|right|<math>d>0 e K>1</math> e quindi <math>n<i</math>.]]
Se le uscite dello Stato superano le entrate e il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
<math>\dfrac{d}{1-K}<0</math> e <math>log(K)>0</math> quindi la derivata è sempre positiva per cui <math>b_{t}</math> è sempre crescente e risulta
:<math>\lim_{t \to +\infty}b_{t}=+\infty</math>
===Secondo caso: (d>0 e K<1 e quindi n>i)===
[[Immagine:Caso2.png|400px|thumb|right|<math>d>0 e K<1</math> e quindi <math>n>i</math>.]]
Se le uscite dello Stato superano le entrate ma il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
:<math>\dfrac{d}{1-K}>0</math> e <math>log(K)<0</math>
quindi:
* se la derivata è positiva (ovvero per <math>b_{0}<\dfrac{d}{1-K}</math>) il rapporto debito/PIL cresce
* se la derivata è negativa (ovvero per <math>b_{0}>\dfrac{d}{1-K}</math>) il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine <math>\dfrac{d}{1-K}=\dfrac{d(1+n)}{n-i}</math> è uno stato stazionario, per cui affinché il debito/PIL decresca è necessario che il debito/PIL iniziale sia maggiore dello stato stazionario e ciò accade se ''n'' è sufficientemente grande rispetto a ''i'' e se ''d'' è sufficientemente piccolo, in modo che il debito iniziale sia maggiore dello stato stazionario.
Inoltre essendo <math>\lim_{t\to+\infty}{b_{t}}=\dfrac{d}{1-K}</math>, il rapporto debito/PIL converge verso lo stato stazionario (o crescendo o decrescendo).
===Terzo caso: (d<0 e K>1 e quindi n<i)===
[[Immagine:caso3.png|400px|thumb|right|<math>d<0 e K>1</math> e quindi <math>n<i</math>.]]
Se le entrate dello Stato superano le uscite e se il tasso di incremento del PIL è minore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
:<math>\dfrac{d}{1-K}>0</math> e <math>log(K)>0</math>
quindi
* se la derivata è positiva (ovvero per <math>b_{0}>\dfrac{d}{1-K}</math>), il rapporto debito/PIL cresce
* se la derivata è negativa (ovvero per <math>b_{0}<\dfrac{d}{1-K}</math>), il rapporto debito/PIL decresce.
Il termine <math>\dfrac{d}{1-K}=\dfrac{d(1+n)}{n-i}</math> è uno stato stazionario, per cui, affinché il rapporto debito/PIL decresca, è necessario che il rapporto debito/PIL iniziale sia minore dello stato stazionario e ciò accade se ''n'' è quasi uguale ad ''i'' e se ''d'' è sufficientemente grande, in modo che il debito iniziale sia minore dello stato stazionario.
Inoltre <math>\lim_{t\to+\infty}{b_{t}}=+\infty</math> quando il rapporto debito/PIL cresce, mentre si ha che <math>\lim_{t\to+\infty}{b_{t}}=-\infty</math> quando il rapporto debito/PIL decresce; infatti calcolando la forma indeterminata del tipo <math>\infty-\infty</math> si ottiene come risultato <math>-\infty</math>, per cui in tal caso dopo un certo tempo il rapporto debito/PIL si annulla.
===Quarto caso: (d<0 e K<1 e quindi n>i)===
[[Immagine:caso4.png|400px|thumb|right|<math>d<0 e K<1</math> e quindi <math>n<i</math>.]]
Se le entrate dello Stato superano le uscite e il tasso di incremento del PIL è maggiore del tasso di interesse dei titoli di Stato, si ha:
<math>\dfrac{d}{1-K}<0</math> e <math>log(K)>0</math>
quindi la derivata è sempre negativa, per cui <math>b_{t}</math> è sempre decrescente e risulta:
<math>\lim_{t \to +\infty}b_{t}=\dfrac{d}{1-K}</math>
per cui dopo un certo periodo di tempo il rapporto debito/PIL si annulla.
== Il finanziamento con tagli e imposte, e lo spiazzamento ==
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Gli investitori possono esercitare un ruolo determinante nella politica economica degli Stati, in ragione degli stock di debito posseduti, tramite la compravendita di titoli all'asta pubblica o nel mercato secondario (per un rifinanziamento oppure per acquisire nuovi titoli di debito).
==Note==
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