Distributività: differenze tra le versioni

Versione delle 03:41, 23 apr 2011

Versione delle 08:46, 28 giu 2011

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Si osservi che quando * è [[commutatività|commutativa]], allora le tre condizioni precedenti sono [[equivalenza logica|logicamente equivalenti]].

== Esempi ==

# In tutti gli insiemi [[Numero|numerici]] abitualmente considerati ([[numero naturale|numeri naturali]], [[numero razionale|numeri razionali]], [[numero reale|numeri reali]], [[numero complesso|numeri complessi]], ... [[numero cardinale|numeri cardinali]]) la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione. Ad esempio:

:: 4 ·· (2 + 3) = (4 ·· 2) + (4 ·· 3)

:Nel membro sinistro dell'espressione precedente, 4 moltiplica la somma di 2 e 3; nel membro destro, moltiplica il 2 e il 3 separatamente e i risultati sono successivamente sommati. Poiché questo porta allo stesso risultato (20) diciamo che la moltiplicazione per 4 si distribuisce sull'addizione di 2 e 3. Dal momento che si può utilizzare qualsiasi numero reale al posto di 4, 2, e 3, e ottenere ancora un'uguaglianza, si ha che la [[moltiplicazione]] di numeri reali è distributiva rispetto all'[[addizione]] di numeri reali.

# La moltiplicazione dei [[numero ordinale (teoria degli insiemi)|numeri ordinali]], al contrario, è solo distributiva a sinistra, e non distributiva a destra.

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Un [[Reticolo (matematica)|reticolo]] è un altro tipo di [[struttura algebrica]] con due operazioni binarie, ^ e v.

Se una delle due operazioni (diciamo ^) è distributiva rispetto all'altra (v), allora anche v deve essere distributiva rispetto a ^, e il reticolo è detto distributivo. Si veda anche la [[Teoria_degli_ordiniTeoria degli ordini#Strutture_piStrutture pi.C3.B9_riccheB9 ricche|teoria degli ordini]].

Gli esempi 4 e 5 sono [[algebra booleana|algebre booleane]], che possono essere interpretate come un tipo particolare di anello (un [[anello booleano]]) oppure come un tipo particolare di reticolo distributivo (un [[reticolo booleano]]). Ciascuna interpretazione è responsabile di differenti leggi distributive nell'algebra booleana. Gli esempi 6 e 7 sono reticoli distributivi che non sono algebre booleane.

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I [[quasi-anello|quasi-anelli]] sono un'ulteriore generalizzazione dei semianelli, e sono distributivi a sinistra ma non distributivi a destra; l'esempio due è un quasianello.

== Generalizzazioni della distributività ==

In molte aree della matematica si considerano leggi distributive generalizzate. Questo può coinvolgere l'indebolimento delle condizioni della definizione oppure l'estensione a operazioni infinitarie. Soprattutto nella [[teoria degli ordini]], si trovano numerose importanti varianti della distributività, alcune delle quali includono operazioni infinitarie, altre sono definite in presenza di una ''sola'' operazione binaria. Dettagli sulle definizioni e sulle loro relazioni si trovano nell'articolo [[distributività (teoria degli ordini)]]. È inclusa anche la nozione di [[reticolo (matematica)|reticolo '''completamente distributivo''']].

In presenza di una [[relazione d'ordine]], si può indebolire la condizione precedente sostituendo = con ≤ oppure ≥. Naturalmente questo porta a concetti sensati solo in alcune situazioni. Un'applicazione di questo principio è la nozione di '''sottodistributività'''.

== Voci correlate ==

* [[Associatività]]

* [[Commutatività]]

== Collegamenti esterni ==

* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/proof-of-distributive-property.lesson Dimostrazione della proprietà distributiva per gli interi, con animazione]

* {{en}} [http://www.algebra.com/algebra/homework/Distributive-property/example-distributive-property-addition.solver Animazione di esempi di proprietà distributiva]

{{Portale|matematica}}

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[[de:Distributivgesetz]]

[[el:Επιμεριστική ιδιότητα]]

[[en:DistributivityDistributive property]]

[[eo:Distribueco]]

[[es:Distributividad]]