Versore: differenze tra le versioni

Versione delle 15:05, 17 nov 2010

Versione delle 02:03, 11 lug 2011

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In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

Vengono spesso utilizzati i versori associati agli [[assi cartesiani]] nel piano

<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)</math>

:<math>\hat{\mathbf v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}</math>

e nello spazio tridimensionale

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

* i versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math>

:# <math>\hat{k\imath},\ = \left (\beginhat{matrix\jmath},\ 0 \\ 0 \\ 1 \endhat {matrixk} \right) </math> .

:# <math>\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z </math>

:# <math>\mathbf{e}_1,\ \mathbf{e}_2,\ \mathbf{e}_3 </math>

:# <math>\hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} </math>

:# <math>\mathbf{x}_0,\ \mathbf{y}_0,\ \mathbf{z}_0 </math>

* i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.

In modo analogo vengono definiti i versori <math>\hat{e}_r</math> ed <math>\hat{e}_\theta</math> che in ogni punto dello spazio indicano rispettivamente la direzione radiale e angolare riguardanti le [[coordinate polari]] ed i versori <math>\hat{t}</math> ed <math>\hat{n}</math>, che indicano rispettivamente la direzione [[tangente (trigonometria)|tangente]] e [[perpendicolarità|normale]] in ogni punto di una data [[traiettoria]].

* i versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

:# <math>\hat{r},\ \hat{\theta} </math>

:# <math>\hat{\mathbf{r}},\ \hat{\boldsymbol{\theta}} </math>

:# <math>\mathbf{e}_r,\ \mathbf{e}_{\theta} </math>

:# <math>\mathbf{r}_0,\ \boldsymbol{\theta}_0 </math>

* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (trigonometria)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano con:

:# <math>\hat{t},\ \hat{n} </math>

:# <math>\hat{\mathbf{t}},\ \hat{\mathbf{t}} </math>

:# <math>\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n </math>

Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

:<math>\hat{v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}</math>

==[[Derivata]] di un versore==

Sia '''<math>\hat{\mathbf{v'''}}(t)</math> un versore dipendente dal tempo. DallaSe definizione diconsideriamo [[prodotto scalare]] e di [[normaquesto (matematica)|modulo]]vettore siper ottienese lastesso relazioneabbiamo:

:<math>\lVerthat{\mathbf{v}} \rVert^2=cdot \hat{\mathbf{v}} \cdot= \left|\hat{\mathbf{v} }\right|^2</math>

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

Derivando membro a membro, e ricordando che il modulo di un versore è costante, e quindi ha derivata nulla, risulta:

:<math>\mathbfhat{v'} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \mathbfhat{v'} = 2\left( \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v} \right)=0 \Longleftrightarrow \mathbf{v'} \cdot \mathbf{v}=01</math>

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di '''v'&middot;v''', si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0</math>

:<math>2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0</math>

:<math>\hat\mathbf{{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0</math>

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di '''<math>\hat{\mathbf{v}}'&middot;\cdot\hat{\mathbf{v'''}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos(\theta(t))\,\hat{i}\theta + 1\sin(\theta(t)),\hat{jr}</math>

coordinate polari:

che in coordinate cartesiane diviene:

:<math>\hat{v}(t) = \cos(\theta(t))\hat{i} + \sin(\theta(t))\hat{j}</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}'}(t) = \theta'(t)(-cos\sinleft(\theta(t)\right)\,\hat{i\imath} + \cossin\left(\theta(t)\right)\,\hat{j\jmath})</math>

derivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:

:<math>\hat{v}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\hat{i} + \cos(\theta(t))\hat{j})</math>

:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})</math>

dove il termine

:<math>(-\sin(\theta(t))\,\hat{i\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{j\jmath})</math>

è il versore ortogonale di modulo unitario,