Linearità (matematica): differenze tra le versioni

Versione delle 11:54, 21 apr 2011

Versione delle 11:52, 14 lug 2011

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=== Applicazioni lineari ===

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

Un'[[applicazione]] <math>f: V \to W</math> definita da un <math>\mathcal{K}</math>-[[insiemespazio vettoriale]] <math>V</math> a un insieme<math>\mathcal{K}</math>-spazio <math>W</math> è ''lineare'' se, per ogni elemento <math>x</math> e <math>y</math> appartenenti a <math>V</math> su cui agisce la funzione, e per ogni [[scalare]] <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione<ref>Affinché questa relazione abbia senso, si richiede che siano ben definite in <math>V</math> e in <math>W</math> l'operazione di ''somma di due elementi'' e quella di ''moltiplicazione di un elemento per uno scalare''; tipicamente, <math>V</math> e <math>W</math> saranno [[spazio vettoriale|spazi]] definiti su un [[campo (matematica)|campo]] <math>\mathcal{K}</math> (in questo caso, <math>x</math> e <math>y</math> saranno dei ''vettori''); gli assiomi di campo e gli assiomi degli spazi vettoriali permettono così di dare un senso a queste due operazioni.</ref>:

:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)\,</math>.

Più in generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]; a seconda della struttura definita su tali insiemi, si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], [[trasformazione lineare|di spazi vettoriali]] (''vedi sopra'') e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].

=== Linearità fra più enti ===

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dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math> non sono tutti nulli<ref>Si noti che il vettore <math>\mathbf 0</math> è ''linearmente dipendente'', poiché vale ad esempio la relazione <math>1 \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref>; se invece l'eguaglianza vale solo se tutti i coefficienti <math>a_i</math> sono nulli, si dice che i vettori sono ''linearmente indipendenti''. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>,

(con ogni <math>\mathbf v_i \ne \mathbf v</math>), si dice che <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori (generatori), ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte.

=== Equazioni lineari ===

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:<math> a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)</math>

con qualche <math>a_i \ne 0</math>.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero).; la dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore

:<math> \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y</math>

è lineare, cioè, se <math>y_1\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x)</math> e <math>y_2\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_2 (x)</math>, allora <math>(y_1+y_2)\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x)</math>,

o, in altri termini, vale la relazione

:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>.

==== Sistemi di equazioni ====