Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

Versione delle 14:45, 11 feb 2005

Versione delle 15:12, 11 feb 2005

Riga 4:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">

#0 è un numero naturale

#il successore di un numero naturale è un numero naturale

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#numeri diversi hanno successori diversi

#ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tutti i suoi elementi coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

</blockquote>

I primi due assiomi ci dicono che abbiamo a che fare con un insieme <math>X</math> (i "numeri naturali") che contiene un elemento 'speciale' <math>x_0</math> (lo "zero") e che è dominio e codominio di una funzione <math>S:X \rightarrow X</math> (il "successore"). Gli altri tre assiomi descrivono le proprietà di questa funzione in un modo che formalmente è il seguente:

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purple;">

:(P1) <math>S(x)\neq x_0</math> per ogni <math>x \in X</math>

:(P2) <math>x\neq y</math> implica <math>S(x)\neq S(y)</math>

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::# <math>x \in U</math> implica <math>S(x) \in U</math>

::allora <math>U=X</math>

</blockquote>

Chiaramente tali assiomi sono verificati se consideriamo <math>X=\mathbb N</math>, l'insieme dei numeri naturali, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+1</math>. Tuttavia possono essere verificati da altri [[modello|modelli]], ad esempio se <math>X=\{2n: n \in N\}</math>, l'insieme dei numeri pari, <math>x_0=0</math> e <math>S(x)=x+2</math>. Questo significa che l'insieme dei numeri naturali con lo zero ed il successore ''non'' sono univocamente caratterizzati dagli assiomi (P1),(P2) e (P3). Quello che è importante tuttavia è che gli assiomi di Peano sono sufficienti a caratterizzare ''la struttura'' dei numeri naturali, cioè caratterizzano l'insieme a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]]. Questa proprietà degli assiomi viene chiamata [[categoricità]]. L'affermazione che gli assiomi di Peano sono ''categorici'' è nota nell'ambito della logica formale come [[Teorema di Categoricità]] per gli assiomi di Peano del [[secondo ordine]].