Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni
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Alcune definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c''; un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. (È possibile, tuttavia, che due elementi non abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo.)
Un [[elemento invertibile]] di ''A'' è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.
Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; in questo caso esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:
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=== MCD & co. ===
In generale, non è vero che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''<sup>2</sup> e ''X''<sup>3</sup> hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di ''a' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]]. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.
Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due <span style="background:#ffffaa; color:#444444">caratteristiche</span><sup>[?]</sup> degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).
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