Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni

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Versione delle 20:02, 27 lug 2011

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== Definizioni fondamentali ==

Alcune definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c'';. unUn ''[[massimoelemento comun divisoreinvertibile]]'' tradi ''a'' e ''bA'' è un elementodetto ''dunità'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comunedell'anello; undue [[minimo comune multiplo]] è un multiplo dielementi ''a'' e ''b'' chesono dividedetti ogni''associati'' altrose multiplosi comune.dividono (Èa possibilevicenda o, tuttaviaequivalentemente, chese due<math>a=ub</math>, elementidove non''u'' abbianoè un'unità massimo comun divisore o un minimo comune multiplodell'anello.)

Un [[elemento invertibile]] di ''A'' è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.

Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; in questo caso esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:

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== Esistenza ==

I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti ''atomici''; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli [[ideale principale|ideali principali]] verificano la [[condizione della catena ascendente]]. Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'[[anello dei polinomi]] e a quello delle [[serie formale|serie formali]], al contrario dell'essere un dominio atomico.

I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i [[anello noetheriano|anelli noetheriani]] e i [[dominio di Krull|domini di Krull]], ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle [[funzione intera|funzioni olomorfe sull'intero piano complesso]] non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma <math>x-a</math>, e quindi una funzione ''f''(''x'') ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione [[seno (matematica)|seno]]) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche di passaggio al [[limite (matematica)|limite]]; tale risultato è noto come [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]]. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]] non noetheriani.

All'estremo opposto, esistono domini in cui non esiste alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli [[intero algebrico|interi algebrici]] non è un campo, ma ogni <math>\alpha</math> può essere fattorizzato come <math>\alpha=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\alpha}</math>, in quanto anche <math>\sqrt{\alpha}</math> è un intero algebrico.

== UnicitàMCD & co. ==

Un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è vero che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''² e ''X''³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di ''a'' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]]. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.

UFD; proprietà più forti (PID, ED)

Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due <span style="background:#ffffaa; color:#444444">caratteristiche</span>^[?] degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).

In ideali primi: Dedekind; decomposizione primaria come forma più debole?

== Miscellanea ==

Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard

In ideali primi: Dedekind; decomposizione primaria come forma più debole?

=== MCD & co. ===

In generale, non è vero che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''² e ''X''³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di ''a' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]]. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.

Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard

Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due <span style="background:#ffffaa; color:#444444">caratteristiche</span>^[?] degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).