Funzione differenziabile: differenze tra le versioni

Versione delle 11:14, 16 ago 2006

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{{analisi_matematica}}

Il concetto di '''funzione differenziabile''' è iluna concettonozione su cui si fondano l'[[analisi matematica]] e la [[geometria differenziale]]. È la generalizzazione in più variabili del concetto di [[funzione derivabile]].

L'idea è quella di una [[Funzione (matematica)|funzione]] tale che se si fa uno zoom a scale sempre più piccole del [[grafico di una funzione|grafico]] della funzione nelle vicinanze di qualsiasi punto la funzione tende a somigliare sempre più ad una [[trasformazione affine]] ed il grafico ad un [[sottospazio affine]]. Più precisamente quello che si richiede ad una funzione per essere ''differenziabile'' è di essere approssimabile nell'intorno di ogni punto con una funzione lineare. La differenziabilità di una funzione da la possibilitàpermette di definire per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere "differenziabile <math> k </math> volte": più volte una funzione è differenziabile, e più il suo grafico è "liscio" e regolare. Si parla in questo caso di funzione '''di classe''' <math>C^k</math>. Una funzione "differenziabile infinite volte" è detta '''liscia'''. Nell'[[analisi funzionale]] le distinzioni fra le varie classi <math> C^k </math> sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica come in [[geometria differenziale]] queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine ''funzione differenziabile'' per definire una funzione liscia.

Molti matematici, soprattutto in [[geometria differenziale]], chiamano ''funzione differenziabile'' una [[funzione liscia]] o di classe <math>C^k</math>, con k intero positivo, un concetto differente da quello inteso in questa voce.

==Definizione==

Sia <math> U </math> un aperto dello [[spazio euclideo]] <math> \mathbb R^n </math>. Una funzione

Una funzione

:<math>F: \mathbb R^nU \rightarrow \mathbb R^m</math>

è '''differenziabile''' in un punto <math>\mathbf x_0</math> di <math> U </math> se esiste una [[applicazione lineare]]

:<math>A: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^m</math>

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in questo caso l'applicazione <math>A</math> si indica con la scrittura <math>DF(\mathbf x_0)</math> e si chiama [[differenziale]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

=== Matrice Jacobiana ===

* Se il [[dominio]] <math>\mathbb R^n</math> e il [[codominio]] <math>\mathbb R^m</math> hanno [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] maggiore di 1 allora lL'[[applicazione lineare]] <math>DF(\mathbf x_0)</math> è [[matrice associata|rappresentata]] da una [[matrice (matematica)|matrice]] <math>n \times m</math> che viene chiamata [[matrice jacobiana]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

A seconda delle dimensioni <math> m </math> e <math> n </math>, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

* Se il [[dominio]] <math>\mathbb R^n</math> ha dimensione maggiore di 1 e il codominio è <math>\mathbb R</math> allora <math>DF(\mathbf x_0)</math> è rappresentato da un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale che viene chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>.

* Se il [[dominio]] <math>\mathbb R^n</math> ha dimensione maggiore di 1 e il codominio è <math>\mathbb R</math> allora <math>DF(\mathbf x_0)</math> èla rappresentatomatrice daassociata è un [[vettore (matematica)|vettore]] <math>n</math>-dimensionale che viene chiamato [[gradiente]] di <math>F</math> in <math>\mathbf x_0</math>. Il gradiente indic a la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

* Se dominio e codominio sono <math>\mathbb R</math> (o suoi sottoinsiemi [[insieme aperto|aperti]]) la ''differenziabilità'' corrisponde alla ''[[funzione derivabile|derivabilità]]'' ed il ''differenziale'' alla ''[[derivata]]''.

* Se il dominio è unidimensionaleun aperto di <math>\mathbb R</math> la funzione <math>F</math> parametrizza una [[curva (matematica)|curva]] in <math>\mathbb R^m</math>, il suo ''differenziale'' è datouna dalfunzione [[vettoreche (matematica)|vettore]] delle derivate delle componenti della curva e se è non nulloè individuacostante) in ogni puntodefinisce la direzione [[tangentedella retta (geometria)|tangente]] alla curva nel punto.

* Se dominio e codominio sono in <math>\mathbb R</math> (o suoi sottoinsiemi [[insieme aperto|aperti]]) la ''differenziabilità'' corrisponde alla ''[[funzione derivabile|derivabilità]]'' ede illa matrice ''differenziale''jacobiana è in realtà un numero, pari alla ''[[derivata]]''.

=== Osservazioni ===

Abbiamo detto che una funzione differenziabile intuitivamente dovrebbe essere tale da apparire sempre più simile ad una [[trasformazione affine]] quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. Tuttavia ciò non sembra evidente dalla definizione che abbiamo dato. Vediamo come sia possibile formalizzare quest'idea intuitiva e dimostrare che coincide (se ci si lavoracon un po' di sforzo) con la definizione di differenziabilità.

Possiamo immaginare ora che la [[trasformazione affine]] con cui potremmo approssimare <math>F</math> in un intorno di <math>\mathbf x_0</math> è la funzione