Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 23:14, 29 lug 2011

Versione delle 19:24, 17 ago 2011

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Alcune definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c''. Un [[elemento invertibile]] di ''A'' è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.

Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; in questo caso esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:

* un elemento è ''irriducibile'' se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;

* un elemento è ''primo'' se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ''ab'', allora divide ''a'' oppure ''b'' (equivalentemente, se l'[[ideale principale]] che genera è [[ideale primo|primo]]).

In generale queste due definizioni non sono equivalenti:, tuttaviama ogni elemento primo è irriducibile. Una ''fattorizzazione in irriducibili'' è la scrittura di un elemento ''x'' come prodotto di elementi irriducibili; analogamente si definisce una fattorizzazione in primi.

Queste proprietà possono essere tradotte in termini di [[ideale principale|ideali principali]]: ''a'' divide ''b'' se e solo se l'ideale (''a'') contiene l'ideale (''b''), mentre ''a'' e ''b'' sono associati se generano lo stesso ideale; un elemento è invertibile se l'ideale generato è l'intero anello. Un elemento è primo se e solo se l'ideale che genera è [[ideale primo|primo]], <span style="background:#ffffaa; color:#444444">mentre è irriducibile se non è contenuto in alcun ideale principale.</span>^[controlla]

== Fattorizzazione unica e proprietà più forti ==

Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi "la stessa": ad esempio le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=yx</math> sono, a tutti gli effetti pratici, indistinguibili; ovvero una fattorizzazione non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: da esempio, se <math>uv=1</math>, allora le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=(ux)(vy)</math>, pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei [[numero intero|numeri interi]], le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare inuna questoscelta modo"canonica".

Si dice quindi che due fattorizzazioni <math>a=x_1\cdots x_n</math> e <math>a=y_1\cdots y_m</math> sono uguali se ''n'' = ''m'' e se, a meno di riordinare i fattori, ''x_k'' e ''y_k'' sono associati per ogni ''k''.

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Ogni [[dominio ad ideali principali]] è a fattorizzazione unica; inoltre, un UFD di [[dimensione di Krull|dimensione]] 1 è ad ideali principali. Una proprietà ancora più forte è l'essere un [[dominio euclideo]], in cui può essere effettuata la [[divisione euclidea|divisione col resto]].

=== Fattorizzazione in ideali ===

Una fattorizzazione in irriducibili, o in primi, può essere "tradotta" nel linguaggio degli ideali: se infatti <math>a=x_1\cdots x_k</math>, allora, a livello di ideali <math>(a)=(x_1)\cdots(x_k)</math>: questo punto di vista permette di eliminare l'ambiguità relativa ai fattori tra loro associati, in quanto questi generano lo stesso ideale. Se la fattorizzazione è unica, ovvero se gli ''x_i'' sono primi, allora gli ideali (''x_i'') sono primi; quindi se ''A'' è un dominio a fattorizzazione unica allora ogni ideale principale può essere espresso come prodotto di ideali primi principali.

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Questo suggerisce di</span>^[bah] considerare gli anelli in cui gli ideali possono essere espressi come prodotto di ideali primi: essi sono detti [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]]. Qui, sebbene gli ideali principali sono prodotto di ideali primi, non è detto che questi siano principali: in effetti un dominio di Dedekind è un UFD se e solo se è [[dominio ad ideali principali|ad ideali principali]]; in caso contrario, si può "misurare" quando ''A'' è lontano dall'essere a fattorizzazione unica mediante un [[gruppo (matematica)|gruppo]] ad esso associato, detto [[gruppo delle classi]].

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">La fattorizzazione unica in ideali primi consente comunque di "salvare" alcune proprietà dei domini a fattorizzazione unica: questa è una tecnica usata nella [[teoria algebrica dei numeri]], in quanto ogni anello di [[intero algebrico|interi algebrici]] in un'[[estensione di campi|estensione]] finita dei [[numero razionale|numeri razionali]] è di Dedekind.</span>^{[non mi convince]}

== Esistenza ==

I domini in cui è possibile effettuare la fattorizzazione in irriducibili di ogni elemento sono detti ''atomici''; una proprietà leggermente più forte è quella per cui gli [[ideale principale|ideali principali]] verificano la [[condizione della catena ascendente]]. Quest'ultima proprietà, benché meno generale, è però più stabile dell'essere un dominio atomico: ad esempio si conserva passando all'[[anello dei polinomi]] e a quello delle [[serie formale|serie formali]], al contrario dell'essere un dominio atomico.

I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i domini [[anello noetheriano|anelli noetheriani]] e i [[dominio di Krull|domini di Krull]], ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle [[funzione intera|funzioni olomorfe sull'intero piano complesso]] non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma <math>x-a</math>, e quindi una funzione ''f''(''x'') ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione [[seno (matematica)|seno]]) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche di passaggio al [[limite (matematica)|limite]]; tale risultato è noto come [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]]. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]] non noetheriani.

All'estremo opposto, esistono domini (che non siano [[campo (matematica)|campi]]) in cui non esiste alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli [[intero algebrico|interi algebrici]] non è un campo, ma ogni <math>\alpha</math> può essere fattorizzato come <math>\alpha=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\alpha}</math>, in quanto anche <math>\sqrt{\alpha}</math> è un intero algebrico.

== MCD & co. ==

Un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è verodetto che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo; se hanno quest'ultimo, hanno ancheperò nche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''² e ''X''³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Un altro modo di caratterizzarli è attraverso gli ideali principali: ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali qualsiasi è ancora principale. Quando il massimo comun divisore di ''a'' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]]. Equivalentemente, un dominio di Bézout è un dominio in cui ogni ideale finitamente generato è principale.

Nei domini a fattorizzazione unica il massimo comun divisore esiste, in quanto si può ricavare dalla fattorizzazione. Gli MCD-domini posseggono inoltre una delle due <span style="background:#ffffaa; color:#444444">caratteristiche</span>^[?] degli UFD: in essi infatti ogni elemento irriducibile è primo, come può essere dimostrato attraverso un analogo del [[lemma di Euclide]]; ne segue che, in un MCD-dominio, se un elemento ha una fattorizzazione allora essa è unica, e un UFD è precisamente un MCD-dominio atomico. Un dominio MCD può però non essere atomico (ad esempio l'anello delle funzioni intere è un MCD-dominio - anzi, è di Bézout - ma non è atomico).

== Miscellanea ==

Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard, gruppo delle classi?

In ideali primi: Dedekind; decomposizione primaria come forma più debole?

Fallisce in parte: HFD, gruppo di Picard