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= <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Teoria della fattorizzazione]]</span><sup>[?!]</sup> =
Per ottenere una "buona" teoria della fattorizzazione, si considerano in genere solo anelli [[anello commutativo|commutativi]], [[anello unitario|unitari]] e privi di divisori dello zero (ovvero [[dominio d'integrità|domini d'integrità]]). In un anello non commutativo, le definizioni diventano più complesse da maneggiare
== Origini ==
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Nel Settecento, per dimostrare l'[[ultimo teorema di Fermat]] (che afferma che l'[[equazione diofantea]] <math>x^n+y^n=z^n</math> non ha soluzioni intere per ''x'', ''y'' e ''z'' diversi da 0 e ''n'' > 2), [[Eulero]] usò alcune proprietà che, viste retrospettivamente, si basano sul fatto che alcuni anelli di [[intero algebrico|interi algebrici]] possiedono la proprietà di fattorizzazione unica; i suoi metodi furono ampliati e generalizzati nell'Ottocento. Nel 1847, [[Gabriel Lamé]] annunciò di star lavorando su una dimostrazione generale, che si basava sulla scomposizione (valida per ''n'' dispari)
:<math>x^n+y^n=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>
dove <math>\xi</math> è una [[radice dell'unità]] ''n''-esima primitiva. Supponendo che esista una soluzione dell'equazione, poiché ''z<sup>n</sup>'' è una potenza ''n''-esima e i fattori a destra sono tutti coprimi, ne deduceva che ognuno era una potenza ''n''-esima. [[Joseph Liouville]] fece tuttavia notare che questo risultato dipendeva dal fatto che l'anello <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> era a fattorizzazione unica, <span style="background:#ffffaa; color:#444444">mentre già tre anni prima [[Ernst Kummer]] aveva fatto notare che questa proprietà falliva per ''n'' = 23.</span><sup>[nota?]</sup> Kummer stesso sviluppò nuovi metodi, che permettevano di aggirare il problema per molti esponenti (quelli che chiamò [[primo regolare|primi regolari]]); le sue idee, nella forma che poi le diede [[Richard Dedekind]], formarono la base del concetto di [[ideale (matematica)|ideale]] e dello studio degli [[anello (algebra)|anelli]].
== Definizioni fondamentali ==
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Una fattorizzazione in irriducibili, o in primi, può essere "tradotta" nel linguaggio degli ideali: se infatti <math>a=x_1\cdots x_k</math>, allora, a livello di ideali <math>(a)=(x_1)\cdots(x_k)</math>: questo punto di vista permette di eliminare l'ambiguità relativa ai fattori tra loro associati, in quanto questi generano lo stesso ideale. Se la fattorizzazione è unica, ovvero se gli ''x<sub>i</sub>'' sono primi, allora gli ideali (''x<sub>i</sub>'') sono primi; quindi se ''A'' è un dominio a fattorizzazione unica allora ogni ideale principale può essere espresso come prodotto di ideali primi principali.
Queste nozioni permettono di riparafrasare in linguaggio moderno la dimostrazione di Kummer riguardante l'ultimo teorema di Fermat: in questo caso, infatti, si considera la fattorizzazione in ideali
:<math>(z)^n=(z^n)=(x^n+y^n)=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>
e si arriva alla conclusione che ogni ideale principale <math>(x+\xi^i y)</math> è uguale ad ''I<sup>n</sup>'' per un ideale ''I''. Se ''n'' è un [[primo regolare]], ovvero se non divide la cardinalità del gruppo delle classi di <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> (che è finito) allora anche ''I'' dovrebbe essere principale; da questo poi si arriva ad una contraddizione.
== Note ==
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