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= <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Teoria della fattorizzazione]], [[Fattorizzazione (teoria degli anelli)]]</span>^[?!] =

Nella [[teoria degli anelli]], la '''fattorizzazione''' è la scomposizione degli elementi di un [[anello (algebra)|anello]] in altri elementi considerati "basilari", analogamente alla [[fattorizzazione]] dei [[numero intero|numeri interi]] in [[numero primo|numeri primi]] o alla [[Scomposizione dei polinomi|scomposizione]] dei [[polinomio|polinomi]] in [[polinomio irriducibile|polinomi irriducibili]].

Per ottenere una "buona" teoria della fattorizzazione, si considerano in genere solo anelli [[anello commutativo|commutativi]], [[anello unitario|unitari]] e privi di divisori dello zero (ovvero [[dominio d'integrità|domini d'integrità]]). InQueste un anello non commutativoipotesi, lein definizioniparticolare diventanola più complesse da maneggiarecommutatività, manon possonosono comunquetuttavia essere date, pur con alcune differenze;assolute: ad esempio, [[Adolf Hurwitz]] usò una forma di fattorizzazione unica nell'anello non commutativo dei [[quaternioni]] a coefficienti interi o [[semidispari]] (detti [[Quaternione di Hurwitz|quaternioni di Hurwitz]]) per dimostrare il [[teorema dei quattro quadrati]] in modo analogo alla dimostrazione del [[teorema di Fermat sulle somme di due quadrati]] attraverso gli [[intero gaussiano|interi gaussiani]].<ref name=bolker><span{{cita stylelibro|autore="background:#ffffaa;Ethan D. color:#444444">Bolker,.|titolo=Elementary Number Theory.</span>^[completa] An Algebraic Approach|editore=Dover Publications|città=Mineola|anno=2007|id=ISBN 0-486-45807-5|pagine=127-133}}</ref>

== Origini ==

La prima dimostrazione esplicita del [[teorema fondamentale dell'aritmetica]], ovvero che l'insieme dei [[numero intero|numeri interi]] è a fattorizzazione unica, si deve a [[Carl Friederich Gauss]], che la inserì nelle ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'', pubblicate nel 1798.<ref>{{Cita libro| autore= [[Carl Benjamin Boyer]]|titolo=Storia della matematica|anno=1990 |editore=Mondadori |città= Milano | id=ISBN 978-88-04-33431-6|cid=Boyer|pagine=582}}</ref> Questa proprietà era però già nota ai matematici precedenti: [[Euclide]] dimostra negli ''[[Elementi (Euclide)|Elementi]]'' che ogni numero può essere scritto come prodotto di numeri primi e quello che oggi è noto come [[lemma di Euclide]] (Libro VII, proposizioni 3130 e 3231), risultati dai quali si ricava facilmente la proprietà di fattorizzazione unica.

Nel Settecento, per dimostrare l'[[ultimo teorema di Fermat]] (che afferma che l'[[equazione diofantea]] <math>x^n+y^n=z^n</math> non ha soluzioni intere per ''x'', ''y'' e ''z'' diversi da 0 e ''n'' > 2), [[Eulero]] usò alcune proprietà che, viste retrospettivamente, si basano sul fatto che alcuni anelli di [[intero algebrico|interi algebrici]] possiedono la proprietà di fattorizzazione unica; i suoi metodi furono ampliati e generalizzati nell'Ottocento. Nel 1847, [[Gabriel Lamé]] annunciò di star lavorando su una dimostrazione generale, che si basava sulla scomposizione (valida per ''n'' dispari)

:<math>x^n+y^n=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>

dove <math>\xi</math> è una [[radice dell'unità]] ''n''-esima primitiva. Supponendo che esista una soluzione dell'equazione, poiché ''zⁿ'' è una potenza ''n''-esima e i fattori a destra sono tutti coprimi, ne deduceva che ognuno era una potenza ''n''-esima. [[Joseph Liouville]] fece tuttavia notare che questo risultato dipendeva dal fatto che l'anello <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> era a fattorizzazione unica, <span style="background:#ffffaa; color:#444444">mentre già tre anni prima [[Ernst Kummer]] aveva fatto notare che questa proprietà falliva per ''n'' = 23.</spanref><sup>[nota?]{{cita|Stewartall|Sterwart, Tall|p.183-186}}</supref> Kummer stesso sviluppò nuovi metodi, che permettevano di aggirare il problema per molti esponenti (quelli che chiamò [[primo regolare|primi regolari]]); le sue idee, nella forma che poi le diede [[Richard Dedekind]], formarono la base del concetto di [[ideale (matematica)|ideale]] e dello studio degli [[anello (algebra)|anelli]].

== Definizioni fondamentali ==

Tutti gli anelli considerati, a meno di specificazioni, sono [[dominio d'integrità|domini d'integrità]].

Le definizioni basilari non sono altro che la trasposizione di analoghe definizioni date nell'insieme dei numeri interi: si dice che ''a'' divide ''b'' se esiste un ''c'' tale che ''ab'' = ''c''; in tal caso si scrive ''a''|''b''. Le proprietà fondamentali della divisibilità in <math>\mathbb{Z}</math> continuano a valere:

* se ''a''|''b'' e ''b''|''c'', allora ''a''|''c'';

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Un [[elemento invertibile]] di ''A'' (ovvero un divisore di 1) è detto ''unità'' dell'anello; due elementi ''a'' e ''b'' sono detti ''associati'' se si dividono a vicenda o, equivalentemente, se <math>a=ub</math>, dove ''u'' è un'unità dell'anello.

Per definire una fattorizzazione è poi necessario definire quali sono gli elementi "base", analogamente ai [[numero primo|numeri primi]] tra gli interi; esistono tuttavia due modi diversi di estendere la definizione:

* un elemento è ''irriducibile'' se non è invertibile e non può essere scritto come il prodotto di due elementi anch'essi non invertibili;

* un elemento è ''primo'' se non è invertibile e ogni volta che divide il prodotto ''ab'', allora divide ''a'' oppure ''b''.

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Un ''[[massimo comun divisore]]'' tra ''a'' e ''b'' è un elemento ''d'' che divide entrambi e che è diviso da qualsiasi altro divisore comune; un [[minimo comune multiplo]] è un multiplo di ''a'' e ''b'' che divide ogni altro multiplo comune. In generale, non è detto che due elementi abbiano un massimo comun divisore o un minimo comune multiplo ma, se esistono, sono unici a meno di associati; se hanno quest'ultimo, hanno però anche un MCD, mentre il viceversa non è vero: ad esempio, se ''K'' è un campo e <math>A=K[X^2,X^3]</math>, gli elementi ''X''² e ''X''³ hanno un massimo comun divisore (1) ma non un minimo comune multiplo. Se però tutte le coppie di elementi hanno un MCD, allora hanno anche un mcm; in questo caso l'anello è detto [[MCD-dominio]] (o dominio MCD). Quando il massimo comun divisore di ''a'' e ''b'' può essere sempre espresso come [[combinazione lineare]] dei due elementi, si ha un<nowiki>'</nowiki>''[[identità di Bézout]]''; se questo avviene per ogni coppia di elementi, l'anello è detto [[dominio di Bézout]].

Queste proprietà possono essere tradotte in termini di [[ideale principale|ideali principali]]: ''a'' divide ''b'' se e solo se l'ideale (''a'') contiene l'ideale (''b''), mentre ''a'' e ''b'' sono associati se generano lo stesso ideale; un elemento è invertibile se l'ideale generato è l'intero anello. Un elemento è primo se e solo se l'ideale che genera è un [[ideale primo|primo]], mentre è irriducibile se non è contenuto propriamente in alcun ideale principale non banale. Due elementi ''a'' e ''b'' hanno un minimo comune multiplo se l'intersezione <math>(a)\cap(b)</math> è principale, e, in tal caso, il suo generatore è un minimo comune multiplo; di conseguenza, ''A'' è un MCD-dominio se e solo se l'intersezione di due ideali principali qualsiasi è ancora principale. Due elementi hanno un'identità di Bézout se e solo se l'ideale generato da entrambiloro generato è principale; in questo caso il suo generatore è un massimo comun divisore. L'esistenza di un MCD tra ''a'' e''b'' non è però sufficiente a far sì che l'ideale (''a'',''b'') sia principale: ad esempio, nell'anello <math>K[X,Y]</math>, dove ''K'' è un campo, ''X'' e ''Y'' hanno un MCD (1) ma l'ideale (''X'',''Y'') non è principale.

Nel caso non commutativo, è necessario distinguere tra divisori ''destri'' e divisori ''sinistri'': ''a'' è un divisore sinistro di ''b'' se ''a'' = ''bc'' per un ''c'', mentre è un divisore destro se ''a'' = ''cb''; queste due proprietà non sono equivalenti (ovvero ''a'' può essere un divisore sinistro di ''b'' senza essere un divisore destro, e viceversa). Analogamente, si deve distinguere tra elementi irriducibili a sinistra ed elementi irriducibili a destra (ovvero, rispettivamente, che non hanno divisori sinistri o divisori destri) e tra un MCD a sinistra e un MCD a destra.<ref name=bolker/>

== Esistenza ==

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I domini atomici sono una vasta gamma di anelli, che comprende tutti i domini [[anello noetheriano|noetheriani]] e i [[dominio di Krull|domini di Krull]], ma sono lontani dal comprendere tutti i domini d'integrità: ad esempio l'anello delle [[funzione intera|funzioni olomorfe sull'intero piano complesso]] non è un dominio atomico. Questo avviene perché tutti gli elementi irriducibili (a meno di associati) sono nella forma <math>x-a</math>, e quindi una funzione ''f''(''x'') ammette una fattorizzazione se e solo se ha un numero finito di zeri; se invece ha un numero infinito di zeri (come, ad esempio, la funzione [[seno (matematica)|seno]]) non la possiede. È da osservare che in questo caso si può recuperare sia l'esistenza che l'unicità della fattorizzazione attraverso procedure analitiche: tale risultato è noto come [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]]. Altri esempi di domini non atomici sono tutti gli [[anello di valutazione|anelli di valutazione]] non noetheriani.

All'estremo opposto, esistono domini (che, pur possedendo elemento non sonoinvertibili (ovvero non essendo [[campo (matematica)|campi]]) in cui, non esistehanno alcun elemento irriducibile: ad esempio, l'anello di tutti gli [[intero algebrico|interi algebrici]] non è un campo, ma ogni <math>\alpha</math> può essere fattorizzato come <math>\alpha=\sqrt{\alpha}\cdot\sqrt{\alpha}</math>, in quanto anche <math>\sqrt{\alpha}</math> è un intero algebrico.

== Unicità ==

Una volta stabilito in quali elementi fattorizzare, si può definire quando due fattorizzazioni sono da considerarsi equivalenti: ad esempio le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=yx</math> sono indistinguibili, e quindi l'"unicità" non deve tener conto dell'ordine con cui si considerano i fattori. Un'altra ambiguità si ha a causa dell'eventuale presenza di unità diverse da 1: daad esempio, se <math>uv=1</math>, allora le fattorizzazioni <math>a=xy</math> e <math>a=(ux)(vy)</math>, pur coinvolgendo elementi diversi, si comportano allo stesso modo riguardo, ad esempio, alla divisibilità: quindi si può ammettere anche che gli irriducibili (o i primi) siano uguali a meno di moltiplicazione per un'unità. Nell'insieme dei [[numero intero|numeri interi]], le unità sono 1 e -1, e quindi quest'ultima condizione può essere omessa imponendo che gli irriducibili siano positivi; in un anello generico, tuttavia, non è possibile operare una scelta "canonica".

Si dice quindi che due fattorizzazioni <math>a=x_1\cdots x_n</math> e <math>a=y_1\cdots y_m</math> sono uguali se ''n'' = ''m'' e se, a meno di riordinare i fattori, ''x_k'' e ''y_k'' sono associati per ogni ''k''.

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Una fattorizzazione in irriducibili, o in primi, può essere "tradotta" nel linguaggio degli ideali: se infatti <math>a=x_1\cdots x_k</math>, allora, a livello di ideali <math>(a)=(x_1)\cdots(x_k)</math>: questo punto di vista permette di eliminare l'ambiguità relativa ai fattori tra loro associati, in quanto questi generano lo stesso ideale. Se la fattorizzazione è unica, ovvero se gli ''x_i'' sono primi, allora gli ideali (''x_i'') sono primi; quindi se ''A'' è un dominio a fattorizzazione unica allora ogni ideale principale può essere espresso come prodotto di ideali primi principali.

In quest'ordine di idee, si possono considerare gli anelli in cui gli ideali possono essere espressi come prodotto di ideali primi: essi sono detti [[dominio di Dedekind|domini di Dedekind]]. Qui, sebbene gli ideali principali sono prodotto di ideali primi, non è detto che questi ultimi siano principali: in effetti; un dominio di Dedekindè ècontemporaneamente un UFD e di Dedekind se e solo se è [[dominio ad ideali principali|ad ideali principali]];. inIn caso contrario, si può "misurare" quando ''A'' è lontano dall'essere a fattorizzazione unica mediante un [[gruppo (matematica)|gruppo]] ad esso associato, detto [[gruppo delle classi]].

Queste nozioni permettono di riparafrasare in linguaggio moderno la dimostrazione di Kummer riguardante l'ultimo teorema di Fermat: in questo caso, infatti, si considera la fattorizzazione in ideali

:<math>(z)^n=(z^n)=(x^n+y^n)=(x+y)(x+\xi y)(x+\xi^2 y)\cdots(x+\xi^{n-1}y)</math>

e si arriva alla conclusione che ogni ideale principale <math>(x+\xi^i y)</math> è uguale ad ''I_iⁿ'' per un ideale ''I_i''. Se ''n'' è un [[primo regolare]], ovvero se non divide la cardinalità del gruppo delle classi di <math>\mathbb{Z}[\xi_n]</math> (che in questo caso è finito) allora anche ''I'' dovrebbe essere principale; da questo poi si arriva ad una contraddizione.

== Note ==

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*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|url=http://www.math.uga.edu/~pete/factorization2010.pdf|titolo=Factorization in Integral Domains|cid=fact2010}}

* {{Cita libro| autore= [[Ian Stewart (matematico)|Ian Stewart]] e David Tall|titolo=Algebraic number theory and Fermat's last theorem| anno=2002 | editore= A K Peters| città=Natick, Massachusetts|lingua=en| lingua=inglese|ed=3|id=ISBN 1-56881-119-5 |cid=Stewartall}}

*{{cita libro | cognome= Gabelli | nome= Stefania | titolo= Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois | editore= Springer| città= Milano| anno= 2008 | id= ISBN 9788847006188|pagine=capitolo 1.4}}

{{portale|matematica}}

<nowiki>[[Categoria:Teoria degli anelli?]]</nowiki>

+REDIRECT [[Elemento primo]], [[Elemento invertibile]], [[Dominio atomico]]