Base ortonormale: differenze tra le versioni

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Versione delle 14:34, 15 set 2011

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== Definizione ==

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita sul campo '''K''', nel quale sia definito un [[prodotto scalare]]. Una base ortogonale per <math> V </math> è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> a due a due ortogonali, cioè tali che:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 151|lang}}</ref>

=== Base ortogonale ===

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita sul campo '''K''', nel quale sia definito un [[prodotto scalare]]. Una base ortogonale per <math> V </math> è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> a due a due ortogonali, cioè tali che:

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = 0 \quad i \ne j</math>

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore ha [[norma (matematica)|norma]] uno, cioè tale che:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 155|lang}}</ref>

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = \delta_{ij}</math>

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:<math>c = {\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2 }</math>

è detto ''coefficiente di fourier'' di '''x''' rispetto al vettore di base '''v'''_i.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 152|lang}}</ref>

Se ''B'' è unabase ortonormale di <math> V </math>, allora <math> V </math> è isomorfo a ''ℓ''^&nbsp;2(''B'') nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca Φ : ''H'' <tt>-></tt> ''ℓ''^&nbsp;2(''B'') tale che:

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Queste espressioni hanno senso anche se ''B'' è [[insieme non numerabile|non numerabile]]: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le [[serie di Fourier]] sono un esempio.

* Una base hilbertiana è [[insieme numerabile|numerabile]] se e solo se lo spazio è [[spazio separabile|separabile]]

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|id=ISBN 88-339-5035-2|cid =lang}}

== Voci correlate ==