Base ortonormale: differenze tra le versioni
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Questa nozione si generalizza ad uno [[spazio di Hilbert]] <math> V </math> (che può essere [[spazio vettoriale reale|reale]] o [[spazio vettoriale complesso|complesso]], e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori [[indipendenza lineare|indipendenti]], ortogonali e di norma 1, che [[span lineare|generano]] un sottospazio [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. Una tale base è spesso detta [[base hilbertiana]].
Se ''B'' è una base ortogonale di <math> V </math>, ogni elemento '''x''' di <math> V </math> può essere scritto in maniera unica come:
:<math>\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}{\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2} \mathbf v_i</math>
ed il numero:▼
Se ''B'' è una base ortonormale si ha:▼
:<math>
è detto ''coefficiente di fourier'' di '''x''' rispetto al vettore di base '''v'''<sub>i</sub>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 152|lang}}</ref>▼
La [[norma (matematica)|norma]] di '''x''' è data da:▼
▲Se ''B'' è una base ortonormale si ha:
:<math>\|\mathbf x\|^2=\sum_{\mathbf v_i \in B}|\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle |^2</math>▼
:<math>\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle \mathbf v_i</math>
▲il numero:
▲La [[norma (matematica)|norma]] di '''x''' è quindi data da:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 154|lang}}</ref>
▲:<math>c = {\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2 }</math>
▲:<math>\|\mathbf x\|^2=\sum_{\mathbf v_i \in B}|\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle |^2</math>
▲è detto ''coefficiente di fourier'' di '''x''' rispetto al vettore di base '''v'''<sub>i</sub>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 152|lang}}</ref>
Se ''B'' è unabase ortonormale di <math> V </math>, allora <math> V </math> è isomorfo a ''ℓ''<sup> 2</sup>(''B'') nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca Φ : ''H'' <tt>-></tt> ''ℓ''<sup> 2</sup>(''B'') tale che:
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